1
全國公私立
全國公私立
全國公私立
全國公私立 111 學年度第
學年度第
學年度第
學年度第三
三
三
三次學測模擬考
次學測模擬考
次學測模擬考
次學測模擬考
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
1. 不等式
(
6)(
6) 18 3
x
x
+
−
≤
共有多少個整數解？
(1) 13 (2) 14 (3) 17 (4) 18 (5) 19
2.
若將
3
2
2
6
2
5
y
x
x
x
=
−
+
+
向右移 h 單位，再向上移 k 單位後變成對稱中心為
(5, 4)
的三次
函數
3
2
y
ax
bx
cx
d
=
+
+
+
。試問下列哪一個選項正確？
(1)
6
h =
(2)
7
k =
(3)
28
b = −
(4)
146
c =
(5)
246
d = −
3.
坐標平面上有向量
(2023,1)
u =
。請問下列哪一個向量和
u
的夾角最大？
(1)
(2022, 2023)
a
=
(2)
( 2023,1)
b
= −
(3)
( 2023, 2024)
c
= −
−
(4)
(1, 2023)
d
=
−
(5)
(2024, 2023)
e
=
−
4.
( )
5
3
log log 2
可化簡為下列哪個選項？
(1)
5
3 log(log 2) (2)
3
log 5(log 2 )
(3)
3
5 log(log 2 ) (4)
5log 3 log 2
+
(5)
5log 3 log(log 2)
+
5.
若
200
3
2023
a =
−
，則
a
的十位數字為下列哪一個選項？
(1) 2 (2) 3 (3) 5 (4) 7 (5) 8
6.
阿偉到一家義大利麵餐廳用餐，內用菜單如下表
(1)
：
表
(1)
主餐
套餐選項
飲料
番茄肉醬麵
220
元
A
套餐：任一主餐
+
濃湯
+
飲料
+70
元
紅茶
50
元
白醬雞肉麵
220
元
B
套餐：任一主餐
+
沙拉
+
濃湯
綠茶
50
元
白醬蛤蠣麵
250
元
+
飲料
+
甜點
+150
元
鮮奶茶
80
元
青醬雞肉麵
250
元
★
套餐飲料請選紅茶或綠茶，更換其
鮮奶綠
80
元
青醬海鮮麵
290
元
他品項可折
30
元
波霸鮮奶茶
120
元
波霸鮮奶綠
120
元
而餐廳內用點餐規定為：每人至少要點一個主餐且低消
350
元，已知阿偉只點一份主餐且
搭配其中一份套餐，那麼共有多少種可能的點餐方式？
(1) 36 (2) 38 (3) 42 (4) 48 (5) 60
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
7.
已知實係數多項式
( )
f x
除以
(
1)(
2)
x
x
−
+
的餘式為 2
3
x + ，則下列哪些選項敘述正確？
(1)
( )
f x
除以
(
2)
x +
的餘式為
1 (2)
[
]
2
( )
f x
以（
x+2
）的餘式為
l
(3)
[
]
2
( )
f x
除以
(
1)(
2)
x
x
−
+
的餘式為8
17
x +
(4)
(
1) ( )
x
f x
−
除以
(
1)(
2)
x
x
−
+
的餘式為
1
x
− +
(5)
(
2) ( )
x
f x
+
除以
(
1)(
2)
x
x
−
+
的餘式為 10
15
x
−
+
8.
設
a
為實數，平面上考慮三次函數
3
x
ax
Γ
+
：
與單位圓
2
2
:
1
C x
y
+
=
的圖形，試選出正確
的選項。
(1)
當
1
a = − 時， Γ 與
x
軸有三個交點
(2)
當
3
4
a = −
時，
Γ
通過點
1
(cos 20 , )
8
(3) Γ
與
C
的交點可能在第四象限
(4)
若
(cos ,sin )
θ
θ
是
Γ
與
C
的其中一個交點，則
( cos ,sin )
θ
θ
−
也會是一個交點
(5)
若
(cos ,sin )
θ
θ
是
Γ
與
C
的其中一個交點，則必滿足 tan
a
θ
>
RA393
2
9.
平面上有一個面積為50
π
的圓
Γ
。若三直線
1
2
3
:
17
:
7
13
L
y
x
L
y
x
L y
x
=
+
=
+
=
−
、
、 ：
，其中
有兩條直線為圓
Γ
的切線，直線
:
3
1
M y
x
= −
+
通過圓
Γ
的圓心。試選出正確的選項。
(1)
1
L
是圓
Γ
的切線
(2)
直線
1
:
3
26
M
y
x
= −
−
是圓
Γ
的割線
(3)
直線
2
:
3
16
M
y
x
= −
+
是圓
Γ
的割線
(4)
點
(8, 1)
A
−
在圓
Γ
上
(5)
點
(0, 10)
B
−
在圓
Γ
內
10.
圖
(1)
是
35
位學生的數理成績與語文成績的
散布圖。若某位學生的數理成績不小於其
語文成績的
1.5
倍，則稱這位學生「偏數理」
﹔反之，若某位學生的語文成績不小於其
數理成績的
1.5
倍，則稱這位學生「偏語文」
。下列對於這
35
位學生的敘述，
試選出正確的選項。
(1)
「偏數理」的學生至少
7
位
(2)
「偏語文」的學生至少
7
位
(3)
「偏數理」的學生比「偏語文」的學生多
(4)
「偏數理」的學生其數理成績的中位數
大於「偏語文」的學生其語文成績的中位數
(5)
「偏數理」的學生其數理成績的標準差大於「偏語文」的學生其語文成績的標準差
11.
若
( )
2 sin 3 ,
( )
2 cos(3
),
( )
( )
( )
6
y
f x
x y
g x
x
y
h x
f x
g x
π
=
=
=
=
+
=
=
+
。試選出正確的選項。
(1)
(1)
0
h
>
(2)
(2)
0
h
> (3)
( )
y
h x
=
的最大值為
2 (4)
( )
y
h x
=
的週期為
4
3
π
(5)
將圖形
( )
y
f x
=
左右平移適當單位可以和圖形
( )
y
h x
=
重疊
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
12.
袋中有編號
1
，
2
，
3
，
4
的球各一個，此四顆球大小不一。若自袋中取一球，取球機率和
球號成反比。現在每次取一球，取後放回，共取兩次，則此兩次的球號和的期望值為
。
13.
在△
ABC
中， BC 上有一點， ABC
∠
的平分線
BE
交
AD
於
E
點。△
ABE
，△
BDE
，
△
ACD
的面積分別為
x
, y, z
，且
3
6
4
x
y
z
=
=
。若
6
AD =
、
2 6
BE =
，
則 AC
=
。
14.
已知△
ABC
中，
AD
為 BC 上的高，並滿足
3
2
5
5
AD
AB
AC
=
+
。若已知
6
AD =
且
135
A
∠ =
，則△
ABC
的面積為
。
15.
柯柯與好友到山林中健行，到達三角點時望向遠方美景感到心曠神怡。接著柯柯打開手
機中具有「山頭辨識」功能
(
能顯示對方山頭高度、仰角、所在海拔高度等
)
的
app
，發現
對面兩座山頭
A
與
B
的高度分別顯示為
3320
公尺與
3220
公尺，仰角分別為
30
、
45
，
手機所在海拔高度為
2720
公尺。當手機與柯柯的眼睛位置相同時，柯柯望向兩座山頭
A
與
B
之間的視角為
45
，根據以上資訊柯柯可計算出兩座山頭
A
與
B
的實際距離為
公尺。
(
化為最簡根式
)
3
16.2002
年時，路德維希
-
馬克西米利安慕尼黑大學的物理教授雷克
(Arnd Leike)
因為證明了
啤酒泡沫的消散符合指數衰減規律而獲得搞笑諾貝爾獎。小威對這個實驗非常有興趣而
進行探究與實作，他將啤酒裝在量筒裡，每
12
秒就記錄一次，測量開罐後的泡沫消失情
形是否真的符合指數衰減定律。實驗結果顯示，啤酒泡沫的初始高度為
2.6
公分，接著每
12
秒泡沫減少的高度依序是
1.2
、
0.6
、
0.3
公分，若啤酒高度
( )
f t
(
單位：公分
)
與時間
t
(
單位：分鐘
)
可表為函數
( )
2
ct
f t
a b
−
=
+ ⋅
，求實數對
( , , )
a b c
=
。
17.
,
,
a b c
是平面上的三個非零向量，若
|
| 25
a =
，
|
| 17
b =
，則滿足
a
在
c
上的正射影
長為
15
，且
b
在
c
上的正射影長亦為
15
的情況下，
a
，
b
所圍的平行四邊形面積的最
大值為
。
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題(占
占
占
占 15 分
分
分
分)
18-20
題為題組
如圖
(2)
：
1
2
3
4
,
,
,
,
A A
A A
⋯
為一群圖形，其形成方式如下：以
2
根「│」棒子及
2
根
「─」棒子圍出
1
個正方格為
1
A
；在
1
A
的基礎上增加
10
根「│」棒子、
10
根「─」棒子及
l
根「╲」棒子圍出
9
個正方格為
2
A
；在
2
A
的基礎上增加
18
根「│」棒子、
18
根「─」棒
子及
8
根「╲」棒子圍出
25
個正方格為
3
A
；⋯ 。依照此規則一直下去，
18.
5
A
是在
4
A
的基礎上增加幾根「│」棒子？
(
單選題，
3
分
)
(1)31 (2)32 (3)33 (4)34 (5)35
19.
試分別求
10
A
一共用了幾根「│」棒子與幾根「╲」棒子？
(
非選擇題，
6
分
)
20.
試求
10
A
一共比
9
A
多用了幾根棒子？
(
非選擇題，
6
分
)
4
RA393
全
全
全
全國公私立高中
國公私立高中
國公私立高中
國公私立高中 111 學年度第
學年度第
學年度第
學年度第三
三
三
三次學測模擬考
次學測模擬考
次學測模擬考
次學測模擬考
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(3)
2.
(4)
3.
(2)
4.
(5)
5.
(4)
6.
(4)
7.
(2)(3)(4)
8.
(1)(2)(3)(5)
9.
(3)(4)
10.
(2)(5)
11.
(2)(3)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：12.
96
25
13.
34
14.
90
15.
100 74
16.
(0.2, 2.4, 5)
17.
420
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：18.
(4)
19.
「│」
380
根；「╲」
289
根
20.
多
212
根