1
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中 110 學年度第三次學測能力模擬考
學年度第三次學測能力模擬考
學年度第三次學測能力模擬考
學年度第三次學測能力模擬考[南一版
南一版
南一版
南一版]
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
1. 試問下列何者正確？
(1) 若 a, b 為非負實數且 a
b
+
為有理數，則 a 和 b 都是有理數
(2) 若 a, b 及 a
b
+
皆為有理數，則 a
b
−
為有理數
(3) 若 a, b 是不相等的無理數，則 ab
a
b
+
−
為無理數
(4) 若 a, b 是有理數，c, d 是無理數，已知 a
c
b
d
+
=
+
，則 a b
=
且 c d
=
(5) 若 a 為有理數且 0
1
a
<
<
，則 a 為有限小數
2. 設 x、y 為實數，若
2
(
2)
1
x −
≤
，
7
13
|
|
2
2
y −
≤
，且
2
2
x
y
+
的最大值為
M
，最小值為
m
，求
M
m
+
的值為何？
(1) 109 (2) 110 (3) 111 (4) 113 (5) 115
3.
已知
a
為實數，多項式
( )
f x
滿足
2
2
( )
3
2
(
3)
(
3)
3
f x
a
x
x
x
=
+
+
−
−
−
，且在
x
=2
時，
( )
f x
有最小
值
1
，試求
( )
f x
除以
1
x − 之餘式為何？
(1)
2
− (2)
3
−
(3) 2 (4) 3 (5) 4
4.
有一個富翁想要從他的所有孩子中選出繼承家業的人，並對所有孩子說，發給每人
1
萬
元作為創業基金去闖事業，告訴他們每個月結算時的資產必須比上個月資產的兩倍再多
1
萬元，也就是說，從現在算起，一個月後的資產至少要
3
萬元，二個月後至少要
7
萬元
，
……
以此類推，如果能夠持續一年就有機會競選繼承人。請問從富翁發給孩子創業基
金那日開始算，一年後至少要累積多少萬元才有資格競選繼承人？
(1) 4095 (2) 4096 (3) 8191 (4) 8192 (5) 16381
5.
在坐標平面上有三點
(0, 0)
O
，
(4, 3)
A
，
(24, 7)
B
，在平面上取一個
x
和
y
坐標均為正整數
的
P
點，使得 POA
POB
∠
= ∠
，則
P
點的坐標可能為何？
(1)
(2,1) (2) (1, 2) (3) (2, 4) (4) (9,13) (5) (13,9)
6.
潮汐是指海水受日月引力發生漲落的現象。在正常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠
近船塢，卸貨後落潮時返回海洋。已知某港口所在的地區每天發生兩次潮汐現象，
下表
(1)
是此港口在某一天的時間
(
時
)
與水深
(
米
)
的關係表：
表
(1)
則這個港口的水深與時間的函數關係，可用下列哪一個函數描述？
(1)
2
1
(
3)
13
3
y
x
= −
−
+
(2)
10log(
10)
y
x
=
+
(3)
10sin(
)
6
y
x
π
=
+
(4)
3sin(
) 10
6
y
x
π
=
+
(5)
3sin(
) 10
3
y
x
π
=
+
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
7.
已知三次函數
3
2
( )
2
6
9
12
f x
x
x
x
=
−
+
−
，試問下列敘述哪些是正確的？
(1)
( )
y
f x
=
的圖形對稱中心為
(1, 7)
−
(2)
( )
y
f x
=
的圖形和
x
軸交於相異三點
(3)
( )
y
f x
=
的圖形由左往右上升
(4)
若點
( , )
a b
在
( )
y
f x
=
的圖形上，則點
(2
, 14
)
a
b
−
−
−
也在
( )
y
f x
=
的圖形上
(5)
( )
y
f x
=
在
1
x = 附近的圖形近似於直線
3
10
y
x
=
−
時間
( x )
水深
( y
米
)
時間
( x )
水深
( y
米
)
時間
( x )
水深
( y
米
)
0
10.0
9
7.0
18
10.0
3
13.0
12
10.0
21
7.0
6
10.0
15
13.0
24
10.0
RB303
2
8.
設
2
2
:
4
5
0
C x
y
x
ky
+
−
+
+
=
之圖形為一圓，且點
( ,
3)
k k −
在圓
C
之外部，則實數
k
可為何
值？
(1)
3
−
(2) 1
− (3)
13
6
(4)
5
2
(5) 3
9.
若
0
a >
且
1
a ≠ ，則下列敘述哪些是正確的？
(1)
log
a
y
x
=
與
1
log
a
y
x
=
兩圖形對稱於
y
軸
(2)
x
y
a
=
與
1
( )
x
y
a
=
兩圖形對稱於
x
軸
(3)
x
y
a
=
與
log
a
y
x
=
兩圖形對稱於直線
y
x
=
(4)
log
a
y
x
=
與
log (8 )
a
y
x
=
圖形相交於一點
(5)
若
x
y
a
=
的圖形和直線
7
y
x
=
交於相異兩點，則
log
a
y
x
=
的圖形和直線
1
7
y
x
=
也交
於相異兩點
10.
調查全班
n
位同學的身高
X(
公分
)
與數學成績
Y(
分
)
，將其繪製成散布圖，並算出相關係
數
r
與迴歸直線斜率
m
均為正數。若把身高的數據改為
X ′ (
公
尺
)
，並將
X ′
與
Y
也給繪
製成散布圖，且算出相關係數
r′
與迴歸直線斜率 m′ 。試問下列哪些選項敘述是正確的？
(1) r
r′
=
(2)
m
m′
<
(3)
對此資料可解讀為這個班的學生中，身高越高者，數學成績必然越高
(4)
若所有點都在直線
2
20
0
x
y
−
+
=
上，則相關係數為
1
2
(5) X
與
Y
的相關程度愈大，表示迴歸直線的斜率愈大
11.
設
,
a b
為平面上兩個不平行的非零向量，若
,
c
a
t b t
R
=
−
∈
，則下列敘述哪些是正確
的？
(1) c
可能垂直
a (2) c
可能平行
a (3) c
可能垂直
b (4) c
可能平行
b
(5)
當
|
|
c
有最小值時，
t b
恰為
a
在
b
上之正射影
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
12.
設
n
a 與
n
b
都是等差數列，且
1
2
3
1
1,
2,
2
a
a
b
=
=
=
。已知對所有的正整數
n
，
n
n
a
b
皆為常
數
p
。求
2
n
b
首
5
項的和為
。
13.2019
新型冠狀病毒
(COVlD-19)
目前已知主要的傳染方式為近距離飛沫、接觸
(
直
接或間接
)
傳染。醫用口罩的主要功用是阻擋使用者的飛沫傳給他人，亦能以外層
PP
防潑水材質，阻隔他人的飛沫傳到使用者的口和鼻。已知一奈米為
9
10
−
米，若
某種變異
2019
新型冠狀病毒
(COVlD-19)
的直徑為
x
米，且
log
7.1549
x = −
，試求
此病毒的直徑約為
奈米。
14.
新冠病毒肆虐全球，
T
國採購
A
、
B
兩個品牌的疫苗，並將全國人民按照年齡與職業分
成若干類別，全部類別數的
5
6
施打
A
牌疫苗，有
11
個類別施打
B
牌疫苗，全部類別數的
1
2
兩個品牌疫苗都有施打，而且只有『
18
歲以下』這一類別兩種疫苗都沒施打。推知
T
國將民眾分為
種類別。
3
15.
停車場內共有
12
個空的停車位排成一列，今有
9
輛車抵達，並隨機挑選一個位置停車。
不久後又有一台需要兩個停車位大小的休旅車進入停車場，試問此休旅車能夠完全停入停
車格的機率
=
。
(
化成最簡分數
)
16.
在△
ABC
中，已知兩個邊長
4
AB =
，
3
BC =
，若 A
∠
有最大值為
θ
，則
sin
θ =
。
(
化成最簡分數
)
17.
已知
(3, 1)
a =
−
在
b
上的正射影為
(2,1)
，若將
2 a
分解為
u
和
v
兩個向量和，其中
u
與
b
平行且
v
與
b
垂直，則
v =
。
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題(占
占
占
占 15 分
分
分
分)
18-20
題為題組
每年過年期間阿嬤都會親自到紫南宮向土地公、土地婆焚香祈福求發財金，期望一整年
能夠好連發財。如圖
(1)
，求發財金的方式是透過「擲筊」：拿兩個相同且有正反兩面的筊
杯往地上丟擲，出現一個正面一個反面的情形稱為『聖筊』。若第一次擲筊就獲得『聖筊』
者，可求金
600
元﹔若第一次未獲『聖筊』，可再次向土地公、土地婆行體許願後擲筊，如
在第二次獲『聖筊』者，可求金
500
元。如此規則，若一開始連續沒有擲得『聖筊』，但依
次在第三次、第四次、第五次、第六次才初獲『聖筊』者，可求金
400
元、
300
元、
200
元、
100
元。倘若連續六次皆未獲『聖筊』者，則請下次再來祈福許願求金。假設每個筊杯
出現正反面的機率一樣，試回答下列的問題。
18.
阿嬤年求到
300
元的機率是
。
(
選填題，
3
分
)
19.
假設求到發財金100 k
×
元的機率為
k
P
其中
1, 2,3, 4,5, 6
k =
，試選出正確的選項。
(
單選題，
3
分
)
(1)
1
3
5
2
4
6
P
P
P
P
P
P
+
+
=
+
+
(2)
1
2
3
2
P
P
P
+
=
(3)
1
2
3
4
5
6
1
P
P
P
P
P
P
+
+
+
+
+
=
(4)
1
2
3
4
5
6
{ ,
,
,
,
,
}
P P P P P P
是等比數列
(5)
阿嬤求到發財金的期望值為
100
200 300 400 500 600
6
+
+
+
+
+
元
20.
阿嬤求發財金時擲筊次數的期望值為幾次？
(
非選擇題，
9
分
)
4
RB303
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中 110 學年度第三次學測能力模擬考
學年度第三次學測能力模擬考
學年度第三次學測能力模擬考
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參考答案
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選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(2)
2.
(2)
3.
(4)
4.
(3)
5.
(1)
6.
(4)
7.
(1)(3)(4)(5)
8.
(1)(4)(5)
9.
(3)(5)
10.
(1)(2)
11.
(1)(2)(3)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：12.
55
36
13.
70
14.
18
15.
5
11
16.
3
4
17.
(2, 4)
−
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：18.
1
16
19.
(4)
20.
63
32