1
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中 109 學年度第
學年度第
學年度第
學年度第四
四
四
四次學測能力模擬考
次學測能力模擬考
次學測能力模擬考
次學測能力模擬考[南一版
南一版
南一版
南一版]
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題（
（
（
（占
占
占
占 60 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題（
（
（
（占
占
占
占 35 分
分
分
分）
）
）
）
1. 己知 x 為實數，不等式
2
2
(2
1)(
)
0
x
x
x
mx
n
+ +
−
+
+
≥ 的解為 3
7
x
≤ ≤ ，則 m n
+ 的值為下列
哪一個選項？ (1) 11
−
(2) 11 (3)
31
−
(4) 31 (5) 0
2. 某次期中考數學分數全班平均 45 分，標準差 15 分，最高分 75 分，老師將全班成績進
行
y
ax b
=
+
線性調整，其中
x
為原分數，
y
為新分數，且
a
，
b
為實數，使得平均變成
60 分，最高分變成 96 分，則標準差變成下列哪一個選項？
(1) 12 (2) 15 (3) 18 (4) 24 (5) 30
3. 如圖(1)，為 18 個小正方形所組成的矩形，若由
A
到
B
走
捷徑，則行走路徑恰將長方形面積平分的方法有幾種？
(1) 7 (2) 8 (3) 10 (4) 12 (5) 16
4.
5
x
除以
2
(
1)
x
−
的餘式為
R
(
x
)，
R
(
x
)除以
2
x
− 的餘式為
r
，則
r
的值為下列哪一個選項？
(1) 6 (2) 1 (3)
1
− (4) 6
− (5) 12
−
5. 設兩數列
,
n
n
a
b
<
> <
>
滿足
1
1
3
n
n
n
a
a
b
−
−
=
+
，
1
1
2
n
n
n
b
a
b
−
−
=
−
，其中
2
n
≥ 且
n
為正整數。
若
1
1
a
=
，
1
3
b
=
，試選出正確的選項。
(1)
2
5
a
=
(2)
2
1
b
=
(3)
3
17
a
=
(4)
3
11
b
=
(5)
4
47
b
=
6. 有 10 盞路燈在綠園道排成一排，為了節能減碳，關掉其中的 4 盞路燈。又為了路人的
安全，不能關掉連續 3 盞或連續 4 盞，下列哪一個選項為選擇關掉路燈的方法數？
(1) 35 (2) 70 (3) 140 (4) 161 (5) 840
7. 空間中，
O
為原點，已知
A
，
B
為
x
軸上兩點，且
O
為
AB
中點，另有一
C
點位於
y
軸
上，若
P
點為
xy
平面的上方一點，使得
5,
3
PA
PB
=
= ，試求 (
)
PA
PB
PC
−
⋅
值為何？
(1) 0 (2) 4 (3) 8 (4) 12 (5) 14
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題（
（
（
（占
占
占
占 2 分
分
分
分）
）
）
）
8. 如圖(2)，
O
為原點，
ABCDEF
為邊長 1 的正六邊形，
將其各邊延長形成一個六角星形。設
OP
x OA y OB
=
+
，使得
P
點位於灰色區域上(含邊界)，
試選出正確的選項。 (1)
AB BC
AF FE
⋅
=
⋅
(2)
xy
> 0 (3) x
y
+
的最大值為 4
(4) |
|
OP
最大值為 4 (5) 內積
OA OP
⋅
最大值為 4
9. 下列選項皆為指對數方程式，試選出有實根的選項。
(1)
2
3
x
x
=
(2)
2
3
log
log
x
x
=
(3)
2
2
log
x
x
=
(4)
1
2
2
log
x
x
=
(5)
2
log
10
2020
x
x
=
+
10.
如圖
(3)
，平面上有
A
, B, C
三個城鎮，
A
, B
之間有一長
30
公里
的直線道路相接，
B
, C
之間有一直線道路相接，
A
, C
中點因有
一高山
M
，因此於平面上建有一圓弧形道路連接
A
, C
，且圈弧
道路恰為
ABC
△
外接圓的一部分。若
75
BAC
∠
=
，
60
ACB
∠
=
，試選出正確的選項。
(1) A
城鎮比
C
城鎮靠近
B
城鎮
(2) A
城鎮與
C
城鎮直線距離超過
30
公里
(3) A
城鎮與
C
城鎮間的圓弧型道路超過
30
公里
RA495
A
B
圖(1)
圖(2)
x
y
O
A
B
C
E
D
F
2
(4)
從
A
城鎮看山頂的仰角會大於從
B
城鎮看山頂的仰角
(5)
若以相同的速率，從
A
城鎮經
B
城鎮到
C
城鎮所需時間是從
A
城鎮經圓弧形道路
到
C
城鎮
2
倍以上
11.
如圖
(4)
，在坐標平面上有一個橢圓型的浴缸內切一個長方
形，此長方形的長
20
公寸，寬
16
公寸，而橢圓中心點為
O
(0, 0)
，兩焦點為
1
F
和
2
F
，長軸和短軸方程式分別為
0
y
=
和
0
x
= ， PQ 為通過
1
F
且與長軸垂直的弦。
試選出正確的選項。
(1)
1
2
10
PF
PF
+
=
(2)
1
6
OF
=
(3)
13
PQ
<
(4)
2
PF Q
△
為正三角形
(5)
此橢圓方程式為
2
2
1
400
256
x
y
+
=
12.
在坐標平面上，
O
為原點，
(2,1)
u
=
，
( 3,1)
v
= −
，令 Ω 為滿足
OP
u
v
α
β
=
+
的所有
點
P
所形成的圖形，試選出正確的選項。
(1) u
和
v
的夾角為銳角
(2) u
和
v
為兩鄰邊的平行四邊形面積為
5
2
(3)
若
1,
2
α
β
=
=
，則 Ω 的圖形為一個點，且此點為
( 4,3)
−
(4)
若
1, 0
2
α
β
=
≤
≤
，則 Ω 的圖形為線段，且長度為
40
(5)
若
1
1, 0
2
α
β
− ≤
≤
≤
≤
，則 Ω 的圖形為平行四邊形，且面積為
20
第
第
第
第貳
貳
貳
貳部分
部分
部分
部分：
：
：
：選填題
選填題
選填題
選填題（
（
（
（占
占
占
占 40 分
分
分
分）
）
）
）
A.
如圖
(5)
，舞臺上有一道雷射光束由
(3,1,1)
A
射向鏡面
E
，
碰到
B
後反射經過
( 1,3,1)
C
−
，又
A
對鏡面
E
的對稱點為
(1, 3, 1)
D
− −
，則反射點的
B
點坐標為
。
B.
政府規定民眾每兩週購買口罩一次，且購買方式有線上預訂及藥局排隊購買兩種方式，
根據觀察每兩週會有
10%
的民眾本來是線上預訂改成去藥局排隊購買，有
40%
的的民眾
本來是藥局排隊購買改成線上預訂，長期而言會有
%
的民眾採取線上預訂的方
式購買。
C.
將行列式
2
1
x
x
b
x
a
−
−
展開可得到多項式
f
(x)
，若
f
(x)
除以 2
1
x
+ 得到餘式
5
且
2
x
− 為
f
(x)
的因
式，則
f
(3)=
。
D.
正四面體的四個面上分別印著
1, 2, 3, 4
，將四個這樣相同的正四面體同時投擲於桌面
上，與桌面接觸的四個面上的四個數之乘積為
4
的倍數的機率為
。
(
化為最簡分數
)
圖(4)
x
y
O
P
20
16
2
F
1
F
Q
圖(5)
A
B
C
E
D
3
E.
樂園高中慶祝百年校慶舉行義賣市集，安鳩米參加的創客社決定要販賣手機架、筆筒共
兩種產品，此兩種產品的材料費、製作時間及售價如表
(1)
所示，創客社社員開會後發
現他們最多只有
100
小時可以製作產品，且材料成本不能超過
1400
元，製作出的產品能
全數售出。若創客社在本次義賣中手機架賣出
a
個，筆筒賣出
b
個，會有最高收入，
求 a b
+ 共有
個。
表
(1)
材料費
(
元
/
個
)
製作時間
(
小時
/
個
)
售價
(
元
/
個
)
手機架
20
2
150
筆筒
30
1
110
F.
坐標平面上，甲、乙兩人站在
(0, 0)
A
，甲從
A
出發走到
B
(3, l)
花了
5
分鐘，若速度與方向
均不變，再繼續走
15
分鐘到達
C
點後，再依前進方向順時針轉
90
後，依相同速度繼續
走
5
分鐘後到達
P
點﹔乙從
A
點出發沿直線
3
4
0
x
y
+
=
移動
10
單位後抵達
Q
點，已知
Q
點在
x
軸下方，則 PQ 斜率為
。
(
請化為最簡分數
)
G.
如圖
(6)
，在坐標平面中，已知有一
ABC
△
，其中
4
AB
=
，
2 19
AC
=
，
120
B
∠ =
，以
AB
為一邊向
ABC
△
內作
一正三角形
ABD
△
，
求
ADC
△
面積為
平方單位。
H.
拋物線
2
:
4
y
x
Γ
=
，若
A
，
B
，
C
為拋物線上相異三點且
A
，
B
在
x
軸上方，
C
在
x
軸下方，若
AC
通過拋物線焦點
F
，且
:
1: 2
AF CF
=
，
3
BF
=
，則
ABC
△
面積為
。
圖(6)
A
B
C
D
4
RA495
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中
全國公私立高中 109 學年度第
學年度第
學年度第
學年度第四
四
四
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次學測能力模擬考[南一版
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參考答案
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選擇題
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：
：
：1.
(1)
2.
(3)
3.
(2)
4.
(1)
5.
(3)
6.
(4)
7.
(3)
8.
(1)(3)
9.
(1)(2)(4)(5)
10.
(1)(4)(5)
11.
(2)(3)
12.
(3)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：A.
(0, 0, 0)
B.
80
C.
5
D.
13
16
E.
60
F.
7
5
G.
4 3
H.
3 2