1
全國公私立高中
113 學年度第一次學測模擬考(南一)
第壹部分：選擇題
(占 85 分)
一、單選題
(占 25 分)
1. 若 a，b，c 均為正整數，滿足
61 2 5
5
a b
c
+
= +
，試選出正確的選項。
(1) a 是奇數 (2) b 是 3 的倍數 (3) c 是偶數 (4) a b
+ 是有理數
(5) c 是有理數
2. 若
6
5
4
3
2
( ) 36(3 1) 65(3 1) 40(3 1) 25(3 1) 44(3 1) 57 18
f x
x
x
x
x
x
x
=
−
−
−
−
−
+
−
−
−
+
− ，則
13
( )
12
f
之
值最接近下列哪一個選項？
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
3. 直角坐標平面上有四點，分別為
(0,0), (5,0), (7,3), (3,5)
O
A
B
C
。今有一點
( , )
P m n
在第一象
限，滿足
90
APO
∠
=
，且
PB PC
=
，則
2
m
n
+
之值為下列哪一個選項？
(1) 4 (2) 6 (3) 8 (4) 10 (5) 12
4. 平面上有
(2,6), (4,1)
A
B
兩點及直線
2
:
2 1 0
L kx y k
k
− +
+
+ = ，
k 為常數。欲使 A，B 兩點都
不在直線
L 上，且 A 點在直線 L 的下方半平面，而 B 點在直線 L 的上方半平面，則 k 的
最小範圍為
k
α
β
< <
。試選出
α β
+
的值為下列哪一個選項？
(1)
11
−
(2) 6
−
(3) 5
−
(4)
4
−
(5) 1
5. 設 x 為實數，已知
max{|
3|,|
3|} 15
x
x
−
+
≤
(即
|
3|
x −
與
|
3|
x +
較大者小於等於
15)，試求其
解
x 的最大範圍所對應的區間長度為下列哪一選項？
(1) 30 (2) 24 (3) 15 (4) 12 (5) 6
二、多選題
(占 30 分)
6. 設
1
1
1
1
3
2
3
2
1
1
2
3
2
3
a
b
c
d
=
=
=
=
、
、
、
。試選出下列正確的選項。
(1) b a c d
> > >
(2) 0
1
a b
< < <
(3) 0
1
d c
< < <
(4) ad bc
>
(5)
2
ac bd
+
=
7. 已知直線
:3
2
26
L x
y
+
=
與直線
: 2
3
39
M x
y
−
=
。今以原點
O 為圓心，r 為半徑畫圓 A。
試問
r 的值可以為下列哪些選項，使得圓 A 和直線 L 交兩點，並且圓 A 和直線 M 不相
交？
(1) 5 (2) 6 (3) 7 (4) 8 (5) 9
8. 設坐標平面上有二圓
2
2
1
:
6
6
14 0
C x
y
x
y
+
+
−
+
=
，
2
2
2
:
8 12
43 0
C x
y
x
y
+
−
−
+
=
。欲在
x
軸與
y 軸上分別找出二點
( ,0), (0, )
P a
Q b
，使得
P 點到二圓的距離之和
1
d 與 Q 點到二圓的
距離之和
2
d 皆為最小，試選出下列正確的選項。
(1)
2
3
a
−
=
(2)
4
b = (3)
1
130
d =
(4)
2
58 5
d =
−
(5)
1
2
5
d d
+
>
9. 下列哪些選項中的不等式的解包含所有的正整數？ (1)
2
2024
0
x
x
−
<
(2)
2
2
3 0
x
x
+
− >
(3)
2
8
8 1 0
x
x
−
+ >
(4)
2
6
9 0
x
x
−
+ >
(5)
2
5
7 0
x
x
−
+ >
10.設 a, b, c 為實數，已知
2
y ax bx c
=
+
+ 的圖形和
x 軸交於
( ,0) ( ,0)
α
β
、
兩點，其中
α β
<
。
若
x 的不等式
2
5
ax bx c
+
+ >
無解，且
x 的不等式
2
5
ax bx c
+
+ > −
的解為
x
γ
δ
< <
。試選
出正確的選項。
(1) a > 0 (2) x 的不等式
2
1
ax bx c
+
+ >
可能無解
(3) x 的不等式
2
0
ax bx c
+
+ >
可能無解
(4)
α γ δ β
< < <
(5)
γ α β δ
< < <
11.若 x, y, z 均為實數，滿足
2
2
2
20 100
60
900
100
2500 5
x
x
y
y
z
z
−
+
+
−
+
+
−
+
=
，則
2
2
2
2
2
2
x
xy y
y
yz z
−
+
+
−
+
的值可能為下列哪些選項？
(1) 25 (2) 35 (3) 45 (4) 55 (5) 65
RA1101
2
三、選填題
(占 30 分)
12.化簡
1
3.5
8.25
=
−
。(化為最簡根式)
13.設圓 C 通過 O(0, 0)，P(0, 3)，
3
( ,0)
2
Q
−
三點，則過點
P 的切線斜率 m= 。
(化為最簡分數)
14.△ABC，
(7,15), ( 3, 5), (12,5)
A
B
C
− −
。
D, E, F 三點分別在
,
,
AB BC CA
的邊上，已知四邊形
ADEF 是平行四邊形，且
:
1: 2
AD DE =
，則
E 點坐標為 。
15.坐標平面上有
( 4, ) ( , )
A
m B n r
−
、
兩點，若線段
AB
和直線
L 交於點 P(4, 3)，又 A，B 兩點到
直線
L 的投影點分別為 C(0, 1)、D(10, 6)，則數對(m, n, r)= 。
16.三次函數
3
1
5
( )
1
2
2
y f x
x
x
=
=
−
−
圖形的對稱中心為
P 點。
( )
y f x
=
的圖形上有
( 2,0)
A −
、
B、C、D 四點，且 ABCD 是菱形，兩對角線 AC 、
BD
交於
P 點，則菱形 ABCD 的面積
為
。
17.某一城市在坐標平面 0
10
x
≤ ≤
，
0
6
y
≤ ≤
的長方形範圍內，設有三處派出所
A, B, C,其坐
標分別為
A(2, 4), B(9, 5), C(6, 2)。若規定在此長方形區域內(含邊界)的任一位置
( , )
D x y
發
生案件，則由距離案發地點
D 最近的派出所管轄處理，若與案發地點 D 最近的派出所有
二個以上時，則由這些派出所共同處理。試問
C 派出所的管轄面積大小為
平方單位。(化為最簡分數)
3
第貳部分：混合題或非選擇題
(占 15 分)
第
18 至 20 題為題組
已知
3
2
( )
y f x
x ax bx c
=
=
+
+
+ 圖形的對稱中心為
A(2, 3)，
( )
y g x
=
的圖形是以
A(2, 3)為
頂點的拋物線，
( )
y h x
=
的圖形是過點
A(2, 3)且斜率為 m 的直線。根據上述條件，
試回答下列問題。
18.
( )
( )
y f x h x
=
+
圖形的對稱中心為下列哪一個選項？
(單選題，3 分)
(1) (0, 0) (2) (2, 3) (3) (2, 6) (4) (4, 3) (5) (4, 6)
19. 若
( )
( )
y g x h x
=
+
的圖形是以
B(3, 4)為頂點的拋物線，試求 m 之值。(非選擇題，4 分)
20. 承 19 題，若
( )
f x
除以
( ( )
( ))
g x h x
−
的餘式為
1
x + ，試求
( )
y f x
=
在
x=2 的一次近似
直線。
(非選擇題，8 分)
參考數值：
2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.449, 3.142
π
≈
≈
≈
≈
≈
。
指對數值：
10
10
10
10
log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 5 0.6990, log 7 0.8451
≈
≈
≈
≈
。
0.3010
0.4771
0.6990
0.8451
10
2,10
3,10
5,10
7
≈
≈
≈
≈
4
RA1101
全國公私立高中
113 學年度第一次學測模擬考(南一)
參考答案
選擇題：
1. (4) 2. (3) 3. (3) 4. (1) 5. (2) 6. (1)(3)(5) 7. (4)(5) 8. (1)(4)(5)
9. (3)(5) 10. (2)(5) 11. (2)(3)
選填題：
12.
11
3
4
+
13.
1
2
−
14. (9, 3) 15.
(9,16, 6)
−
16. 30 17.
283
12
混合題：
18.
(3)
19.
4
m = −
20.
3 9
y
x
= − +