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全國公私立高中
全國公私立高中全國公私立高中
全國公私立高中 110 學年度第二次學測能力模擬考
學年度第二次學測能力模擬考學年度第二次學測能力模擬考
學年度第二次學測能力模擬考[南一版
南一版南一版
南一版]
第壹部分
第壹部分第壹部分
第壹部分：
：：
：選擇題
選擇題選擇題
選擇題（
（（
（占
占占
占85 分
分分
分）
））
）
一
一一
一、
、、
、單選題
單選題單選題
單選題（
（（
（占
占占
占35 分
分分
分）
））
）(1~7 每題
每題每題
每題 5分
分分
分)
1. 將1，2，3，4，
⋯
依照下列的規律依序排
列，1當起始點，先往右移動一個單位標記
為2，然後往上移動一個單位標記為 3，再
往右移動一個單位標記為 4，然後往下移動
一個單位標記為 5，再往右移動一個單位標記
為6，然後往下移動一個單位標記為 7，再往
右移動一個單位標記為 8，然後再往上移動一個單位標記為 9
，重複上述動作得到如圖(1)，請問標記為 996～999 的部分圖形為何？
(1) (2) (3) (4) (5)
2. 設a, m, n皆為正整數，試問滿足 24 2
a m n
− = − 的
( , , )
a m n
之組數有多少組？
(1) 1 組 (2) 2 組 (3) 3 組 (4) 多於 3組 (5) 不存在
3. 設圓 2 2
: 2 4 3 0
C x y x y
+ + + − =
，直線
: 1 0
L x y
+ + =
，若圓上一點 P到直線 L的距離為
正整數，試問 P點的個數為下列哪一個選項？(1)7 個 (2)8 個 (3)9 個 (4)10 個 (5)11 個
4. 下列哪個函數的最小值與其他不同？
(1)
( ) | 1| | 3|
f x x x
= − + +
(2)
2 2 2
( ) ( 2) ( 2)
g x x x x
= + + − +
(3) 2
2
( ) 2
x
p x
+
=
(4) ( ) 2
q x x y
= +
，其中
0, 0, 2
x y xy
> > =
(5)
4
( ) cos
cos
h
θ θ
θ
= + ，其中
θ
為第一象限角
5. 下表(1)為主計處統計某國個人平均收入與家庭可支配收入近 11 年的一覽表。 表(1)
所得收入者人數 個人平均所得收入 家戶平均可支配收入
2010 12628812 603626 886,797
2011 13373384 611134 907,988
2012 13537783 621576 923,584
2013 13990734 620635 942,208
2014 14180085 630690 956,849
2015 14452129 630905 964,895
2016 14766214 636709 993,115
2017 14973175 654836 1,018,941
2018 15304387 655771 1,036,304
2019 15527634 666577 1,048,692
2020 15676981 675432 1,059,701
根據上表(1)及下表(2)，請問 2010 年底到 2020 年底這 10 年間家戶平均可支配收入的年
平均成長率( r )，最接近下列哪一個選項？ 表(2)
(1) 1.69% (2) 1.73% (3) 1.79% (4) 1.83% (5) 1.89%
6. 如圖(2)，將一個六個面都塗了油漆的正方體，切割成 125 個同樣
大小的正方體。經過攪拌後，從中隨機取出一個小正方體，假設
它的塗油漆面數為 X面，試問 X的期望值為下列哪一個選項？
(1)
8
5
(2)
7
5
(3)
168
125
(4)
6
5
(5)
126
125
r 1.30% 1.40% 1.50% 1.60% 1.70% 1.80% 1.90%
10
(1 )
r
+
1.1379 1.1492 1.1605 1.1720 1.1836 1.1953 1.2071
RA288
1
2
34
5
6
78
9
10
11 12
13
14
15 16
17 18
圖
圖圖
圖(
((
(1
11
1)
))
)
998 999
997
996
998
999
997
996
998 999
997996
998
999
997
996
998
999
997
996
圖(2)
2
7. 五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著一枚完全相同的公正硬幣，所有人同時投擲
自己面前的公正硬幣一次。若硬幣正面朝上，則這個人站起來，若硬幣正面朝下，則這
個人繼續坐著。試問沒有相鄰的兩個人同時站起來的機率為何？
(1)
5
16
(2)
11
32
(3)
3
8
(4)
15
32
(5)
1
2
二
二二
二、
、、
、多選題
多選題多選題
多選題（
（（
（占
占占
占25 分
分分
分）
））
）(8~12 每題
每題每題
每題 5分
分分
分)
8. 已知 2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3
6
n n n
n
+ +
+ + + + =⋯且
3 3 3 3 2
( 1)
1 2 3 [ ]
2
n n
n
+
+ + + + =⋯，若
2 2 2 2 3 3 3 3
(2 4 6 38 ) (2 4 6 38 )
k= + + + + + + + + +
⋯ ⋯
，則下列何者為 k的質因數？
(1) 11 (2) 17 (3) 19 (4) 113 (5) 131
9. 如果矩形 ABCD 能夠以某種方式分割成三個小矩形，使每個
小矩形的長寬比與原矩形的長寬比相等，此時我們稱此矩形
ABCD 可以「自相似三分割」。如圖(3)，矩形 ABCD 的一個
「自相似三分割」，設最小矩形 CFGH 的長(
CF
)和寬(
CH
)
分別為 x與1，其中
1
x
>
，試選出正確的選項。
(1)
BH x
=
(2) 2
1
BC x
= +
(3)
1
2AB x
x
= +
(4)
3
AE x
=
(5) 3
2
2
x
< <
10. 設
α
，
β
均為第二象限角，若
sin sin
α β
>
，試選出正確的選項。
(1)
α β
<
(2)
cos cos
α β
<
(3)
sin cos
α β
>
(4)
sin(180 ) sin(180 )
α β
+ < +
(5)
sin(90 ) sin(90 )
α β
+ > +
11. 某次實驗測得 12 組
1 1 2 2 12 12
( , ), ( , ), , ( , )
x y x y x y
⋯
的二維數據，已知
1 2 12
1
( ) 12
12
xx x x
µ
= + + + =
⋯，1 2 12
1
( ) 120
12
yy y y
µ
= + + + =⋯，
2 2 2
1 2 12
( ) ( ) ( ) 100
xx x x x
S x x x
µ µ µ
= − + − + + − =
⋯
2 2 2
1 2 12
( ) ( ) ( ) 625
yy y y y
S y y y
µ µ µ
= − + − + + − =
⋯
，
1 1 2 2 12 12
( )( ) ( )( ) ( )( ) 125
xy x y x y x y
S x y x y x y
µ µ µ µ µ µ
= − − + − − + + − − =
⋯
。
試選出正確的選項。
(1)
x
與
y
的相關係數為
1
2
(2) 用最小平方法求得之 y對x迴歸直線的斜率為
1
5
(3) 用最小平方法求得之 y對x迴歸直線的 y截距為 125
(4) 所有樣本點
( , )
i i
x y
都在同一直線上
(5) 若
2 1, 1, 2, ,11,12
i i
z x i= − + =
⋯
，則 y與z的相關係數為
1
2
−
12. 如圖(4)，為夜市中常見的射飛鏢遊戲，其中 O為圓心 A，B，C，
D四個區域相對應的獎金金額分別為 10，20，30，40 元。遊戲規
則是每一回合玩家付給攤商 k元可獲得三支飛鏢，莊家轉動圓形
靶玩家射出飛鏢，射中哪一個區域即可獲得該區域的獎金。若
阿南是玩飛鏢的高手，支支可以射中靶面不含邊界的區域，命中
該區域機率與該區域所佔的面積成正比，試選出正確的選項。
(1) 阿南命中 A，B，C，D四個區域的機率比為
6 : 3 : 2 :1
(2) 阿南射一支飛鏢可獲得獎金的期望值為 25 元(不考慮付給攤商的費用)
(3) 阿南玩一回合可獲利的期望值為
(55 )
k
−
元(包含付給攤商的費用)
A
C
H
EB
DF
G
圖(3)
A
C
B
D
圖(4)
30
60
3
(4) 當
65
k
=
時，阿南連玩 10 回合，遊戲結束後阿南共賠了 100 元
(5) 若
90
k
=
時，阿南玩一回合，攤商賠錢的機率為
3
28
12
三
三三
三、
、、
、選
選選
選填
填填
填題
題題
題（
（（
（占
占占
占25 分
分分
分）
））
）(13~17 每題
每題每題
每題 5分
分分
分)
13. 已知實係數多項式
( )
f x
除以 4 3
( 1)
x x x
+ − −
的餘式為 2
3 1
ax x
− +
，若
( 1)
x
−
為多項式
( )
f x
的因式，則多項式
( )
f x
除以
( 1)
x
+
的餘式為 。
14. 設x與y的關係式為
2
18log( )
3
x
y=，且當
1 2
,
x x x
=時，其對應的 y值分別為
1 2
,
y y
，其中
1 2
,
x x
為正實數。若
2 1
100
x x
=，則
2 1
y y
−
= 。
15.
: 9
L y mx
= +
與
1
3
y x
= − 互相垂直，將直線 L向右平移 a個單位或向下平移 b個單位都
會與直線 :
M y mx
=
重合，試求數對
( , )
a b
= 。
16. 如圖(5)，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A處時
測得公路北側一山在西
30
北的方向上，行駛 600 公尺後到達
B處，測得此山在西
75
北的方向上，仰角為
30
，則此山的高
度
CD
為 公尺。
17. 由於國際間新型冠狀病毒肺炎疫情尚未舒緩，因此國內旅遊相當盛行，今有方方、美美
等6人，欲從其中選出 4人分別到台北、台中、台南、高雄四個城市遊覽，要求每個城
市有一人遊覽，每人只能遊覽一個城市，試問此 6人中的方方、美美兩人不去台中遊覽
的旅遊方式有 種。
第
第第
第貳
貳貳
貳部分
部分部分
部分：
：：
：混合
混合混合
混合題
題題
題（
（（
（占
占占
占15 分
分分
分）
））
）
第18.至19.題為題組
在坐標平面上，有一點
(2,1)
P與一直線 :
L y x
=
，若以 P點為光源，發射一束初始光線
0
L
，經鏡面 x軸、鏡面直線 L多次交替反射，設
k
A
(k為自然數，
k
A
不為原點)為該束光線在
兩線上第 k次的反射點。
18. 如圖(6)，設 O為原點，從點
(2,1)
P發射的初始光線
0
L
的方程式為
2 3
y x
= −
，若第 1次的反射點
1
A
在x軸上，試選出正確的選項。
(單選題，3分) (1) 1
3
(0, )
2
A (2) 2
(2,2)
A
(3) 第一條反射光線的方程式為
2 3
y x
= − −
(4) △
1 2
OA A
為等腰三角形 (5) △
1 2
PA A
為等腰三角形
19. 承(18)。若從點 P發射的初始光線
0
L
，經數次反射後，即不再經鏡面 x軸、鏡面直線 L
反射。試求最後一條反射光線所在直線的方程式。(非選擇題，12 分)
圖(5)
圖(6)
4
RA288 全國公私立高中
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全國公私立高中 110 學年度第二次學測能力模擬考
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參考答案
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選擇題
選擇題選擇題
選擇題：
：：
：1. (4) 2. (1) 3. (4) 4. (5) 5. (3) 6. (4) 7. (2) 8. (3)(5) 9. (2)(3)(4)
10. (3)(4)(5) 11. (1)(5) 12. (1)(3)(5)
選填題
選填題選填題
選填題：
：：
：13. 6 14. 72 15.
(3,9)
16.
100 6
17. 240
混合題
混合題混合題
混合題：
：：
：18. (5) 19.
2 3 0
x y
− − =