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全國公私立高中 112 學年度第三次學測模擬考(數A)
第壹部分：選擇題(占85 分)
一、單選題(占30 分)
1. 設m為實數，已知坐標平面上，直線
:L y mx=
除(0, 0)外，仍會通過其他格子點
(x、y坐標皆為整數)，則 m值可能為下列哪一個選項？
(1) log 2
10
(2)
log2
(3)
1
4
log 2
(4)
2
2
(5)
1
4
2
2. 二次函數
2
y ax bx c= ++
(其中 a、b、c為實數且
1a≠
)的部份圖形
如圖(1)，試問下列哪一個選項可能為
x
yba= +
與
loga
yc x= +
的部分圖形？
(1) (2) (3)
(4) (5)
3. 甲、乙、
、壬共 9人抽籤平分成 3隊報名籃球賽，則甲、乙同隊的機率為下列哪一
選項？ (1)
1
12
(2)
1
4
(3)
1
3
(4)
1
2
(5)
2
3
4. 一筆成對資料(X, Y)之Y對X的迴歸直線如圖(2)。設 Y的標準差
大於 X的標準差，若將兩變量 X, Y分別標準化後得到新的一筆
成對資料
,XY
′′
，則
Y′
對
X′
的迴歸直線最有可能為下列哪一個
選項？
(1) (2) (3)
(4) (5)
RA397
2
5. 小賴和小劉是好朋友，他們一起到台東鹿野高台參加熱氣球嘉年華。已知小賴先搭乘熱
氣球上升到空中，觀測遠處地面上的小劉，俯角為
1
θ
；垂直向上飛行 l00 公尺後，重新觀
測小劉的俯角為
2
θ
，再垂直向上飛行 100 公尺後，重新觀測小劉的俯角為
3
θ
。下列哪一
個選項的數值依序必為等差數列？(小賴和小劉的身高可忽略不計)
(1)
123
,,
θθ θ
(2)
12 13 2
,,
θθ θθ θ
−−
(3)
123
sin ,sin ,sin
θθ θ
(4)
123
cos ,cos ,cos
θθ θ
(5)
123
tan ,tan ,tan
θθ θ
6. 「主動式抗噪耳機」的原理是先使用耳機上的麥克風測量周圍的噪音聲波，如圖(3)的實
線，再利用電子電路製造出一個相位相反、振幅相同的聲波，如圖(3)的虛線，來抵銷噪
音以達抗噪功效，即虛線與實線對稱 x軸。若某款主動式抗噪耳機上的麥克風測得目前周
圍的噪音聲波如圖(4)，則該耳機應產生下列哪一個聲波才足以抵銷目前周圍的噪音？
(1)
5sin( )
6
x
π
+
(2)
5sin(2 )
3
x
π
+
(3)
sin(2 )
3
x
π
−+
(4)
5sin( 2 )
6
x
π
−−
(5)
5sin( 2 )
3
x
π
−−
二、多選題(占25 分)
7. 設a、x為實數，試選出正確的選項。
(1) 方程式
|4 2|xa−=
的解與方程式
2
( 4 2)
xa−+ =
的解相同
(2) 方程式
|4 2|xa−=
的解與方程式
42xa−=±
的解相同
(3) 不等式
|4 2|
xa−≥
的解與不等式
22
(4 2)xa−≥
的解相同
(4) 不等式
|4 2| 2xa−<
的解與不等式
| 2 1|
xa− + >−
的解相同
(5) 不等式
3 |4 2| | |xa−< − <
的解與不等式
|4 2| | |xa
−<
的解相同
8. 關於三次函數
32 3 2
( ) ( 1) 2( 1) ( 1) 1 ( 2) ( 2) 18( 2)f x x x px ax bx x c= − + − + − += + + + + + +
，試
選出正確的選項。
(1) 序組
( , , , ) (3,1, 7, 17)pabc = −−
(2)
(0.98) 0.94f≈
(四捨五入至小數點後第二位)
(3)
()y fx=
圖形的對稱中心為
(1,1)
(4)
()y fx=
在
1x=
附近的一次近似為
32yx= −
(5)
()y fx=
圖形與 x軸必有交點
9. 已知兩圓方程式分別為圓
22
1
: 16Cx y+=
，圓
22
2
: ( 6) ( 1) 4Cx y− +− =
，其中圓
1
C
的圓心為
1
O
，圓
2
C
的圓心為
2
O
，設 P為圓
1
C
上一點，Q為圓
2
C
上一點，試選出正確的選項。
(1) 設
PQ
最小值為 m，則
01m<<
(2) 設
PQ
最大值為 M，則
12 13M<<
(3) 同時與圓
1
C
、圓
2
C
相切的直線只有 2條
(4) 設同時與圓
1
C
、圓
2
C
皆相切的直線為
1
L
與
2
L
，且
1
L
、
2
L
與
12
OO
皆不相交，則
1
L
與
2
L
的交點 K坐標為
(12,2)
(5) 設R點在圓
1
C
上，則△PQR 可能為正三角形
3
10. 圖(5)為台灣中油今年 5月每週一調整後的零售價。關於這 5次調價的敘述，試選出正確
的選項。
(1) 95 無鉛汽油這 5次零售價的平均價格為 30.4 元 (2) 95 無鉛汽油這 5次零售價的標
準差小於 1元 (3) 92 無鉛汽油、95 無鉛汽油與 98 無鉛汽油這 5次零售價的標準差皆一
樣 (4) 超級／高級柴油這 5次零售價的標準差比 95 無鉛汽油的標準差大
(5) 台灣中油依經濟部指示實施油價平穩機制，當 95 無鉛汽油零售價在 30～32.4 元／公
升，當週油價若須上漲 x元，則零售價只漲
3
4
x
，其餘
4
x
元由台灣中油吸收(下跌時亦
同)。因此 95 無鉛汽油在 5月最後一次調價時，台灣中油吸收了 0.1 元／公升
11. 如圖(6)，以紅、黃、綠三種顏色塗色三行三列的格子，
每格只塗一色，相鄰格子不同色，且三色皆須使用。
小天依相鄰格子數多寡分成圖中三區：I、Ⅱ、Ⅲ，並依序完成
塗色。其計畫先塗 I區，再依Ⅱ區顏色異同的個數及分布塗色，
最後塗完Ⅲ區。試選出正確的選項。(1) 若Ⅱ區顏色皆相同，
則塗完所有格子的方法有 6種
(2) 若Ⅱ區恰有 3格用同一色，則塗完所有格子的方法有 24 種
(3) 若Ⅱ區只用紅色及綠色，每種顏色塗 2格，則Ⅱ區的塗法有
42
22
CC
種 (4) 若Ⅱ區恰
為兩種顏色各塗 2格，則塗完所有格子的方法有 72 種 (5) 塗完所有格子的方法共有
240 種塗法
三、選填題(占25 分)
12. 己知小賴和其他四名好朋友一起參加大嘻哈時代的饒舌比賽，他們在某次比賽環節的演
唱表演分數都在 80 分到 90 分之間，已知他的四個好朋友的分數分別為 82、84、85、86
，小賴的分數是整數，而且他們五個人分數的算術平均數和標準差也都是整數。則小賴
的分數為 分。
13. 設兩相異點 A、B分別為直線 y=x與
loga
yx=
的交點，若 O點為原點，且 A點恰為
OB
的中點，試求
2
OA
之值為 分。
4
14. 四邊形 ABCD 中，
90 , 3, 5ABC BC CD∠= = =
4DA =
，如圖(7)所示。若
AC
為
BCD∠
的角平分線，
則
AC
= 。(化為最簡根式)
15. 如圖(8)所示，圓
22
:( 12) ( 2) 4Cx y
+ +− =
與x軸相切於 A點，若圓 C沿x軸向右滾動，
碰到直線 L之後即停止，過程中
A點繞著圓心旋轉了
5−
弳。已知
L過點
(8,0)
，則 L的y截距為
。(化為最簡分數)
16. 在△ABC 中，已知
(4, 5)
A−
，若
B∠
、
C∠
之角平分線分別為
1
:3Lxy+=
，
2: 3 11Lx y−=−
，試求直線 BC 的斜率為 。(化為最簡分數)
17. 設正六邊形 ABCDEF 的邊長為 1，今以 E為圓心作一圓弧 DF，
如圖(9)所示。若 P為圓弧 DF 上之動點，則當內積
AC BP⋅
有最大值時，
AC
與
BP
的夾角餘弦值為
。(化為最簡根式)
第貳部分：混合題或非選擇題(占15 分)
第18 至20 題為題組
小賴創業，自行設計公司的商標如圖(10)所示，
AB
和
AC
為大圓的切線，B和C為切點，其中 G在
AB
上，I在
AC
上，
H為
GI
和大圓的切點；△AGI 為小圓的外切三角形，
D, E, F為切點；且
1AD =
，
3GF =
，
2EI =
(單位為公分)。
試回答下列問題：
18.
AGI∠
的餘弦值為下列哪一個選項？(單選題，4分)
(1)
1
2
(2)
3
2
(3)
62
4
+
(4)
3
5
(5)
4
5
19. 大圓的切線長
AB
為 。(選填題，4分)
20. 試求出大圓的半徑。(非選擇題，7分)
5
RA397 全國公私立高中 112 學年度第三次學測模擬考(數A)
參考答案
選擇題：1. (3) 2. (4) 3. (2) 4. (3) 5. (5) 6. (5) 7. (1)(5) 8. (1)(2)(4)(5) 9. (1)(2)(4)(5)
10. (1)(2)(3)(5) 11. (3)(5)
選填題：12. 88 13. 8 14.
21
15.
10
3
16.
7
5
−
17.
5
5
混合題：18. (5) 19. 6 20. 6