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新竹區高級中學
新竹區高級中學新竹區高級中學
新竹區高級中學 110 學年度學科能力測驗聯合模擬考試
學年度學科能力測驗聯合模擬考試學年度學科能力測驗聯合模擬考試
學年度學科能力測驗聯合模擬考試
數
數數
數A(110-E3)
第壹部分
第壹部分第壹部分
第壹部分：
：：
：選擇題
選擇題選擇題
選擇題（
（（
（占
占占
占85 分
分分
分）
））
）
一
一一
一、
、、
、單選題
單選題單選題
單選題（
（（
（占
占占
占30 分
分分
分）
））
）(1~6 每題
每題每題
每題 5分
分分
分)
1. △ABC 滿足 ( )AB AC+
與( )AB AC−
垂直，則△ABC 必為哪種三角形？
(1) 正三角形 (2) 等腰三角形 (3) 直角三角形 (4) 銳角三角形 (5) 鈍角三角形
2. 試比較下列各數的大小：
3 0.9 110
( 3) (0.9) 110 log(sin 90 ) log(sin 40 )a b c d e= − = = = =
、 、 、 、
。 (1) a＜e＜d＜b＜c (2) e＜a＜d＜b＜c (3) a＜d＜e＜c＜b
(4) a＜e＜d＜c＜b (5) a＜e＜b＜d＜c
3. 試問以下哪個聯立不等式無解？
(1)
5 10
2
3 2
x y
x y
x y
+ >
− >
− + >
(2)
5 10
2
3 2
x y
x y
x y
+ >
− >
− + <
(3)
5 10
2
3 2
x y
x y
x y
+ <
− <
− + >
(4)
5 10
2
3 2
x y
x y
x y
+ <
− >
− + >
(5)
5 10
2
3 2
x y
x y
x y
+ <
− >
− + <
4.
已知三次函數
f(x)
在
x
＝
0
的一次近似為
y
＝
x
＋
5
，且對稱中心為
(1, 8)
，則此函數的領導
係數為何？
(1)
－
3 (2)
－
2 (3)
－
1 (4) 1 (5) 2
5.
將一木板放在圓筒上，右圖為剖面示意圖，其中
圓的半徑為
30
公分，
AC
的長度為
300
公分，
B
為
AC
中點。假設當此木板朝一側傾斜，使得板面
與地面接觸時，此時板面與地面的夾角為
θ
，則
tan
θ
的值為何？
(1)
3
5
(2)
4
5
(3)
3
10
(4)
5
13
(5)
5
12
6.
已知
a
為整數，設多項式
13
90x x+ +
除以
2
x x a− +
所得的商式為整係數多項式，且餘式
為
0
，則
a
之值為何？
(1)
－
1 (2) 2 (3)
－
2 (4) 3 (5)
－
3
二
二二
二、
、、
、多選題
多選題多選題
多選題（
（（
（占
占占
占20 分
分分
分）
））
）(7~10 每題
每題每題
每題 5分
分分
分)
7.
右圖顯示出一般人的聽力範圍，橫軸是聲波頻率，
縱軸是聲強級。圖中最下方的曲線是聽閾，聽閾
以上的聲音才能夠聽到。最上方的曲線是痛閾，
這樣響的聲音是人無法忍受的。在痛閾以下，還
有很大的一段讓人感到非常不舒服的範圍。兩條
曲線之間的範圍，稱為聽覺面積。請針對文字敘
述並從圖表判斷，下列哪些選項正確？
(1)
由圖可知，一般人講話的聲音約為
40dB
到
70dB
左右
(2)
對一般人而言，頻率介於
500Hz
到
5000Hz
的聲音，只要分貝數超過
140dB
都是無法忍受的
(3)
只要聲音的分貝固定為
40dB
，那麼頻率介於
20Hz
到
500Hz
的聲音都聽得到
(4)
若聲音的頻率為
10000Hz
，則分貝介於
20dB
到
120dB
都會讓人感
覺不舒服
(5)
由圖可知，考慮在
1000Hz
以下的聽覺面積，
0Hz
到
500Hz
的聽覺面積
占了一半以上
RA391
2
8. 丟擲一顆公正的六面骰子兩次，假設第一次點數為x，第二次點數為y，則以下哪些選項
的敘述正確？
(1) x≥ y的機率為
1
2
(2)
x y
⋅
為偶數的機率為
1
2
(3)
2
x y
xy
+
>的機率為
5
6
( 4) x＋y的期望值為7 (5)
x y
⋅
的期望值為
49
4
9. 下表為交通部中央氣象局統計新竹地區每月雨量總和資料(時間：2018年1月至2021年6
月，單位：毫米)，試問下列關於新竹地區的敘述哪些正確：
(1) 八月是颱風旺季，雨量是一年各月中的最大值
(2) 五月是臺灣的梅雨季，當月每日的平均雨量高於全年每日平均雨量
(3) 2020年6月到2021年5月，臺灣面臨乾旱，新竹這一年累積雨量未達800毫米
(4) 八月颱風屬極端氣候，該月的雨量標準差是一年各月中的最大值
(5) 考慮2019年與2020年各月的雨量，其相關係數值為正
10. 疫情影響，學校教職員分流上班(部分教職員居家辦公，部分到校辦公)，教務處有6位教
職員(1位主任、2位組長、3位職員)，居家辦公申請規定如下：
(一)每人當週最多3天，其中最多連續2天。(例如：星期一、星期二、星期五居家辦公)
(二)教務處最多每天3人申請。
考慮一週五個工作天，試問下列選項哪些正確？
(1) 若不考慮其他夥伴，教務主任申請2天居家辦公的方式有10種
(2) 若不考慮其他夥伴，教務主任申請3天居家辦公的方式有6種
(3) 僅考慮2位組長，兩人協議五天各一位居家辦公，則兩人協議後可安排居家辦公的
方法有14種
(4) 僅考慮2位組長，兩人協議每人各申請2天居家辦公，且兩人不同時居家辦公，則兩
人協議後可安排居家辦公的方法有30種
(5) 若學校希望教務主任及2位組長，3人每天至少有2人到校辦公，則3人的居家辦公安
排方式共895種
三
三三
三、
、、
、選填題
選填題選填題
選填題（
（（
（占
占占
占35分
分分
分）
））
）(11~17每題
每題每題
每題5分
分分
分)
11. 已知二次函數 2
( )
f x x ax b
= + +
滿足
( 3) (1 )
f x f x
+ = −
，則a＝ 。
12. 如右圖所示。根據 ISO216 的定義，A系列紙張有以下的
特性：
(1)A0 的面積為一平方公尺。
(2)每一號紙張 A(n)都是前一號紙張 A(n－1)對折一半時
的大小。
(3)所有的紙張皆相似。
根據以上定義，A1 紙張的長邊長度應為
公分。(四捨五入至小數點後第一位，可參考末頁參考數值)
3
13. Thue-Morse 序列是一個由兩個符號組成的序列，通常以 0和1表示。它的前幾項如下：
1 2 3 4 5
0 01 0110 01101001 0110100110010110
a a a a a= = = = =、 、 、 、 ，數列的規則為將前一
項的 0用01 取代，1用10 取代而得到下一項。按照這個規則，
100
a
這一項的最後五個數
字為 。
14. 市面上販賣的三角板通常有兩種規格：一種是 30°－60°－90°，一種是 45°－45°－90°。如
果將兩種不同規格，且斜邊長都是 10 的三角板拼接在一起形成一個四邊形，則此四邊
形對角線長的乘積為 。(化為最簡根式)
15. 令θ為第一象限角，
( ) 2 cos 3cos( )
3
f
π
θ θ θ
= + −
，則
( )
f
θ
的最大值為 。
(化為最簡根式)
16. 右圖為一個河內塔遊戲的示意圖：上面有三個圓杆，六個不同
大小的穿孔圓片，遊戲的目標是要將這六個圓片從某個杆子，
移到另一個杆子上。一次移動一圓片，並且過程中大的圓片不
能覆蓋在小的圓片上。若杆子上的六個圓片皆滿足小的圓片在
大的圓片上面，則我們稱之為「合理的狀態」(如右下圖)。請
問有 種「合理的狀態」。
17. 已知
(2sin cos ,sin 3cos ) (2,1)sin (1,3)cos
OP
α β α β α β
= + + = +
，其中
6 6
π π
α
− ≤ ≤
，
3
4 4
π π
β
≤ ≤ ，試求
OP
的一切 P點所形成的圖形面積為 。(化為最簡根式)
第
第第
第貳
貳貳
貳部分
部分部分
部分：
：：
：混合
混合混合
混合題
題題
題（
（（
（占
占占
占15 分
分分
分）
））
）
第18.至19.題為題組
評估病毒傳播模式有以下兩個重要指標，簡述定義如下：
(一)世代間隔(Serial interval，以 S表示)：從第一波感染到第二波感染出現的時間。
(二)基礎再生數(Basic Reproduction Number，以
0
R
表示)：
一個個案在整個患病的病程中平均可以傳給幾個人的指標。
若0
1
R
>
則感染個數呈指數性成長，每經過 1次世代間隔(S)後，新感染人數將變為
0
R
倍。
18. 若病毒 A的世代間隔(S)＝5天，基礎再生數(
0
R
)＝4，請問經過 30 天後新感染人數將變
為多少倍？(單選題，5分)
(1) 20 倍 (2) 625 倍 (3) 1,024 倍 (4) 1,296 倍 (5) 4,096 倍
4
0
R
能決定疫情指數成長的程度，但不是常數，在疫情爆發時，適當的介入可以使
0
R
下降，
例如隔離治療、環境消毒、個人防護具等。而
t
R
值則是加上時間考量，進一步觀察隨著時間
變化的
0
R
值，推估加上時間考量的基礎再生數(
t
R
)另有下面的指數評估公式：
2
( )
log ( 1)
(0) t
N t t
R
N S
= − ⋅
，其中S：世代間隔、
Ｎ
(t)：在t時間點下的罹病個案總數
19. 病毒B的世代間隔(S)＝6天，某地發現B病毒後，地方政府隨即進行了三級警戒，感染人
數如上圖及上表。根據傳染病學，若
t
R
呈現遞減趨勢，代表三級警戒有效果。試計算第
6天、第12天及第18天的
t
R
值(四捨五入到小數點後第二位)，並說明前18天三級警戒是
否有效果。(非選擇題，10分)
(參考：新冠肺炎之傳播分析—林先和秘書長)
RA391 新竹區高級中學
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新竹區高級中學 110 學年度學科能力測驗聯合模擬考試數
學年度學科能力測驗聯合模擬考試數學年度學科能力測驗聯合模擬考試數
學年度學科能力測驗聯合模擬考試數 A(110-E3)
參考答案
參考答案參考答案
參考答案
選擇題
選擇題選擇題
選擇題：
：：
：1. (2) 2. (1) 3. (4) 4. (3) 5. (5) 6. (2) 7. (1)(2) 8. (3)(4)(5) 9. (3)(5)
10. (1)(3)(4)(5)
選填題
選填題選填題
選填題：
：：
：11.
4
−
12. 84.1 13. 01001 14.
25 2 25 6
+ 15.
19
16. 729 17.
5 2
混合題
混合題混合題
混合題：
：：
：18. (5) 19. 第6天的Rt值為4，第12天的Rt值為3.79，第18天的Rt值為3.53