加載中. ..
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桃園市立武陵高中 111 學年度第一學期
二年級期末考
數學科(A)試題卷
班級：
座號：
姓名：
一、多重選擇題（每題 8分，共 24 分。答錯ㄧ個選項得 5分，答錯兩個選項得 2分，答錯三個選項AA
以上得 0分，未作答不給分。）A
1. 如右圖，
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸&
為正五邊形，請問下列哪些敘述正確？
(A)A 以
&𝐴
、
𝐵
、
𝐶
、
𝐷
、
𝐸&
為始點、終點，可決定 10 種不同非零向量A
(B)
𝐸𝐷
'
'
'
'
'
(
∙𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
=𝐷𝐶
'
'
'
'
'
(
∙𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
A
(C) 若正五邊形邊長為 3，則
&𝐴𝐶
'
'
'
'
'
(
∙𝐴𝐸
'
'
'
'
'
(
>5
(D)
𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
∙&𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
、
&𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
∙&𝐵𝐶
'
'
'
'
'
(
、
𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
∙𝐶𝐷
'
'
'
'
'
(
、
𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
∙𝐷𝐸
'
'
'
'
'
(
、
𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
∙&𝐸𝐴
'
'
'
'
'
(
&
中，以
&𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
∙𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
&
為最大A
(E) 若
&𝑃&
為正五邊形所在平面上一點，且
&𝑃𝐴
'
'
'
'
'
(
−
√
2&𝑃𝐵
'
'
'
'
'
(
+𝑃𝐶
'
'
'
'
'
(
=𝐴𝐶
'
'
'
'
'
(
，則
&𝑃&
在
&𝐴𝐵
2
2
2
2
&
上A
A
A
2. 設
&𝑎
(
,𝑏
'
(
&
為平面上兩個不平行的非零向量，
𝑝,𝑞,𝑟,𝑠∈ℝ
，下列關於向量與行列式的敘述哪些正確？
(A) 若
&𝑟
|
𝑎
(|
=𝑠
=
𝑏
'
(
=
&
，則
&𝑟𝑎
(
+𝑠𝑏
'
(
&
必可平分
&𝑎
(
&
與
&𝑏
'
(
&
的夾角A
(B) 若
&𝑐
(
=𝑟𝑎
(
+2𝑏
'
(
，已知當
&
|
𝑐
(|
&
最小時，
𝑟>0
，則
&𝑎
(
&
和
&𝑏
'
(
&
夾角為銳角A
(C) 若
&𝑎
(
&
在
&𝑏
'
(
&
上的正射影為
&𝑐
(，
&𝑏
'
(
&
在
&𝑎
(
&
上的正射影為
&𝑑
(，且
&
|
𝑐
(|
=2
=
𝑑
(=，則
&
|
𝑎
(|
:
=
𝑏
'
(
=
=1:2
A
(D) 若
&
|
𝑎
(|
=
=
𝑏
'
(
=
&
，且
&
=
𝑎
(
−𝑏
'
(
=
−
=
𝑎
(
+𝑏
'
(
=
=
√
2
，則
&𝑎
(
&
和
&𝑏
'
(
&
夾角必為鈍角A
(E) 若
&𝑝𝑞𝑟𝑠≥0
，則
|
D
𝑝 −𝑞
𝑟 𝑠
D
|=
E|
𝑝
|
−
|
𝑞
|
|
𝑟
| |
𝑠
|E
3. 已知 3 個非零向量 , , ，若
&𝑎
(
+2𝑏
'
(
+3𝑐
(
=0
'
(
，且
&𝑎
(
∙𝑏
'
(
=𝑏
'
(
∙𝑐
(
=𝑐
(
∙𝑎
(
=𝑘
，則下列選項哪些正確？A
A (A)A
𝑘>0
A
(B)A |
𝑎
(|
=
√
5𝑘
A
(C)A =
𝑏
'
(
=
=
√
−2𝑘
A
(D)A 與 之夾角為 A
(E)A
&𝑎
(
&
與
&𝑏
'
(
&
所形成平行四邊形面積為
&𝑏
'
(
&
與
&𝑐
(
&
所形成平行四邊形面積的 3 倍A
A
A
A
a
!
b
!
c
!
b
!
c
!
45°
二、填充題（配分如右表，共 60 分）
1. 試求 E√
2+2
√
3+
√
15 2
√
3
√
2+2
√
3−
√
15
√
2−
√
15
E
+
H√
6
7
√
6
6
12
29
14
29
H
=
AAAAAAAAAAAAAAAAAA
2. 設
&𝑎
(
=(7,−
√
15)
，若
&𝑏
'
(
&
與
&𝑎
(
&
垂直，且=
𝑏
'
(
=
=1
，則
&𝑏
'
(
=
AAAAAAAAAAAAAAAAAA
3. 設
𝑎
(
=(202,−101)
，
𝑏
'
(
=(3,𝑡)
，
𝑡&
為整數，若
𝑏
'
(
&
在
&𝑎
(
&
上的正射影長度小於 1，則所有滿足此條件之
整數
&𝑡&
有AAAAAAAAAAAAAAAAA個A
4. 設
&𝑥,𝑦∈ℝ
，且
&4𝑥−3𝑦=8
，已知當
&𝑥=𝑠, 𝑦=𝑡&
時，
𝑥"+2𝑦"&
有最小值
&𝑚
，
試求
&𝑚−𝑠+𝑡=
AAAAAAAAAAAAAAAAAA
5. 如圖（此為示意圖），△
𝐴𝐵𝐶&
中，
𝐴𝐵
2
2
2
2
=3
，
𝐴𝐶
2
2
2
2
=7
，
∠𝐴&
的角平分線交
&𝐵𝐶
2
2
2
2
&
於
&𝐷
，
𝐼&
為△
𝐴𝐵𝐶&
的內
心，已知
&𝐴𝐼
'
'
'
'
(
=#
"$ 𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
+%
"$ 𝐴𝐶
'
'
'
'
'
(
，求
&𝐵𝐶
2
2
2
2
=
AAAAAAAAAAAAAAAAAA
A
A
A
A
答對題數A
1A
2A
3A
4A
5A
6A
7A
8A
9A
10A
得分A
8A
16A
24A
30A
36A
42A
48A
52A
56A
60A
6. 坐標平面上有一矩形，其一邊所在直線方程式為
&
T
&𝑥=2+2𝑡
𝑦=4−𝑡 ,𝑡∈ℝ
，其中一條對角線
&𝐿&&
所在直線
方程式為
&𝑥−2𝑦+9=0
，已知另一條對角線
&𝐿"&
過
&
(
1,−7
)，試求對角線
&𝐿"&
所在直線方程式為A
AAAAAAAAAAAAAAAAA（請以一般式
&𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0
表示）A
A
7. 如圖（此為示意圖），已知
&𝐴𝐵
2
2
2
2
:𝐴𝐷
2
2
2
2
=2:3
，
𝐴𝐸
2
2
2
2
:𝐸𝐶
2
2
2
2
=1:4
，
𝐵𝐸
W
'
'
'
'
X
&
與
&𝐶𝐷
2
2
2
2
&
交於
&𝑃&
點，A
若
𝐴𝑃
'
'
'
'
'
(
=𝛼𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
+𝛽𝐴𝐶
'
'
'
'
'
(
，則(
𝛼,𝛽
)
=
AAAAAAAAAAAAAAAAAA
A
8. 若 之解為 , ，試求 之解(
𝑥,𝑦
)
=
AAAAAAAAAAAAAAAAAAA
9. 如圖，
&𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
=(3,1)
，
𝐴𝐶
'
'
'
'
'
(
=(2,3)
，若
&𝑃&
為平面上一點，且
&𝐴𝑃
'
'
'
'
'
(
=𝛼𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
+𝛽𝐴𝐶
'
'
'
'
'
(
，A
已知
&𝐴𝑃
'
'
'
'
'
(
&
滿足以下條件：A
○1
&
𝛼,𝛽&
皆為整數
&
&
○2 A
𝑃&
點落在塗色區域（不包含
&𝐴𝐶
W
'
'
'
'
X
&
及
&𝐵𝐶
W
'
'
'
'
X
&
）A
○3
&
𝛼𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
&
與
&𝛽𝐴𝐶
'
'
'
'
'
(
&
所形成之平行四邊形面積小於
110
A
試問滿足上述條件的
&𝑃&
點共有AAAAAAAAAAAAAAAAA個A
A
A
11 1
22 2
ax by c
ax by c
+=
ì
í+=
î
2x=
6y=
11 1 1
22 2 2
(2 ) 3 2 0
(2 ) 3 2 0
abx by c
abxby c
--+=
ì
í--+=
î
10. 如圖，
𝐴𝐵
2
2
2
2
&
為圓
&𝑂&
的直徑，
𝑃&
為圓弧
&𝐴𝐵&
上一點，
𝑀,𝑁&
在直徑上且對稱於
&𝑂&
（
𝑂&
為圓心），A
設
&𝐴𝐵
2
2
2
2
=𝑎
，
𝑀𝑁
2
2
2
2
2
=𝑏
，試以
&𝑎
、
𝑏&
表示
&𝑃𝑀
'
'
'
'
'
'
(
∙𝑃𝑁
'
'
'
'
'
'
(
=
AAAAAAAAAAAAAAAAA（請化簡至沒有括號的形式）A
A
A
A
A
A
A
三、計算證明與混合題（共 16 分，無詳細說明或計算過程不予計分）A
1. 將奇異果高中平面圖視為一坐標平面，以校門口為原點
&𝑂(0,0)
，根據相對位置設立大致的坐標，A
明道樓位於
&𝐴(6,8)
，崇德樓位於
&𝐵(−3,5)
，Ｋ書中心位於
&𝐶
(
1,9
)
&
，請問：A
(1)A 下列何者為直線
&𝐴𝐵&
的參數式？A
（單選題，不需計算過程，3 分）
A
(A)
&
T
&𝑥=6+3𝑡
𝑦=8−9𝑡,𝑡∈ℝ
AAA
(B)
&
T
&𝑥=−3+6𝑡
𝑦=5+8𝑡 ,𝑡∈ℝ
AAA
(C)
&
T
&𝑥=−3+3𝑡
𝑦=5+𝑡 ,𝑡∈ℝ
A
(D)
&
T
&𝑥=6+𝑡
𝑦=8+3𝑡,𝑡∈ℝ
A
A
A
(2)A 園遊會時，小昕想在校園中
&𝑃&
處設置一甜點攤位，為了方便明道樓、崇德樓及Ｋ書中心的同學
前往，決定設立在明道樓、崇德樓位置的連線上，並且距離Ｋ書中心最近的位置處，試求攤位的
坐標。
（5 分）
A
A
A
2. (1)A 設
&𝑂&
為△
𝐴𝐵𝐶&
的外心，試證明
&𝐴𝑂
'
'
'
'
'
(
∙𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
=&
"
=
𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
=
"
A
（3 分）
A
(2)A △
𝐴𝐵𝐶
中，
𝐴𝐵
2
2
2
2
=6
，
𝐵𝐶
2
2
2
2
=2
√
7
，
𝐶𝐴
2
2
2
2
=4
，
𝑂&
為△
𝐴𝐵𝐶&
的外心，若
𝐴𝑂
'
'
'
'
'
(
=𝑥𝐴𝐵
'
'
'
'
'
(
+𝑦𝐴𝐶
'
'
'
'
'
(
，A
試求數對
(𝑥,𝑦)
A
（5 分）
A
A
!(#, %)
!(−$, &)
!
!(#, %)
!
!(#, #)
!
!
!
!
桃園市立武陵高中 111 學年度第一學期
二年級期末考
數學科(A)答案卷
>>>>>>>>>>>>>>>>>>班級：$$$$$$$座號：$$$$$$$姓名：$$$$$$$$$$$$$$
一、多重選擇題（每題 8分，共 24 分）A
二、填充題（配分如表，共 60 分）
1.#
#
2.#
#
3.#
#
4.#
#
5.#
#
6.#
#
7.#
#
8.#
#
9.#
#
10.#
#
#
三、計算證明與混合題（共 16 分，無詳細說明或計算過程不予計分）
A
1.#
#
2.#
#
3.#
#
1.#(1)############（單選題）#
##(2)#
#
2.#(1)#
#
(2)#
#
桃園市立武陵高中 111 學年度第一學期
二年級期末考
數學科(A)解答
一、多重選擇題（每題 8分，共 24 分。答錯ㄧ個選項得 5分，答錯兩個選項得 2分，答錯三個選項AA
以上得 0分，未作答不給分。）A
二、填充題（配分如下表，共 60 分）
答對題數A
1A
2A
3A
4A
5A
6A
7A
8A
9A
10A
得分A
8A
16A
24A
30A
36A
42A
48A
52A
56A
60A
1.#
-25#
2.#
!√15
8,7
8(或!−√15
8,−7
8(#
3.#
5#
4.#
40
41#
5.#
15#
送分
#
6.#
11𝑥+2𝑦+3=0#
7.#
(−12
13 ,5
13)#
8.#
(−2,14
3)#
9.#
18#
10.#
𝑎"−𝑏"
4
#
#
三、計算證明與混合題（共 16 分，無詳細說明或計算過程不予計分）A
1.#
BD#
2.#
DE#
3.#
CE#
1.#(1)###### C#####（3 分）#
##(2)#
!"!
",##
""$! !
（5 分）A
A
2.#(1)#
略# ########
（3 分）
#
#
#
(2)#
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（5 分）#
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