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桃園市立武陵高中
111 學年度第二學期高一數學科第一次期中考
(101 班至 120 班)_題目卷
範圍：數列與級數、數據分析
一、多選題：每題
8 分，3 題共計 24 分。（每題至少有 1 個選項是正確的，答錯 1 個選項者，得 5 分；
答錯
2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項者，該題以 0 分計算。）
1. （ ）設數列〈
n
a 〉的首項
1
100
a
=
，請選出正確的選項。
(A). 若〈
n
a 〉為等差數列且
112
10
a
，則
2023
10
a
。
(B). 若〈
n
a 〉為等差數列且
112
10
a
，則
2023
10
a
。
(C). 若〈
n
a 〉為等比數列且
2023
0
a
，則
112
0
a
。
(D). 若〈
n
a 〉為等比數列且
112
0
a
，則
2023
0
a
。
(E). 若〈
n
a 〉為等比數列，則
(
)
10
400
300
40
30
a
a
a
a
=
。
2. （ ）設有一組成等差的數據 X：1、4、7、
、
298，請選出正確的選項。
(A). 數據 X 的第 25 百分位數為 76。
(B). 數據 X 的中位數大於或等於算術平均數。
(C). 若將數據 X 的每筆數據都開根號，將使整體數據的標準差變小。
(D). 若新增一筆數據，其值恰為數據 X 的算術平均數，將使整體數據的標準差變大。
(E). 若刪除數據 X 中的第一筆數據，將使整體數據的標準差變小。
3. （ ）設數列〈
n
a 〉滿足「
1
2
a
= 且對任意正整數 n，
2
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
=
−
恆成立」，
當
2
a 為下列哪些選項中的值時，能使數列〈
n
a 〉的前六項均為正數？
(A).
20
11
(B). 2 (C).
23
11
(D).
11
5
(E).
13
5
二、填充題：每格
6 分，8 格共計 48 分。
4. 設有五數成等差數列，其和是 20，積是 208，則此數列的公差可能的值為【 】。（全對才給分）
5. 阿樺在經營某社群平台時發現 110 年與 111 年的訂閱人數成長率分別只有 10%、20%，若希望在 112 年底結算時，
這三年的平均成長率能達到
30%以上，則今年（112 年）的成長率至少要達到【 】%。
（以無條件進位法取至整數答案）
6. 已知 x、y 的 5 筆數據如下表，且 y 對 x 的迴歸直線為
1
3
2
y
x
=
+ ，則：
(1). 數據 x 的變異數為【 】。
(2). 數據 y 的標準差為【 】。
2
7. 設 5 組數據 X、Y、Z、U、V 如下表，請比較相關係數
,
X X
r
、
,
X Y
r
、
,
X Z
r
、
,
X U
r
、
,
X V
r
的大小，
並由小到大排列為【
】。（請以「<」或「=」表示成一列不等式）
8. 將等差數列〈
n
a 〉：
1
7
、
2
7
、
、
100
7
中的每一項化成小數，並以無條件捨去法取至整數位數，
依序排成新數列〈
n
b 〉，則級數
1
2
100
b b
b
+ + +
的和為【
】。
9. 設數列〈
n
a 〉的遞迴式為
1
1
1
7
2
2
1
n
n
n
a
a
a
n
+
−
=
=
+
−
+
，
2
n
，則此數列第 10 項
10
a 的值為【
】。
10. 設數列〈
n
a 〉的一般項為
2
11
10
n
a
n
n
=
−
+
，則
1
2
20
a
a
a
+
+ +
的值為【
】。
三、混合題：每小題
4 分，共計 16 分。
11. 數學老師阿吉將全班 25 位同學期中考成績（x）與期末考成績（y）繪製散佈圖如下，已知：這 25 位同學的期中考成績
（
x）與期末考成績（y）的平均分別為 52.7 、 62.1 ，而標準差分別為 23.4、15.0，y 對 x 的迴歸直線為
0.6
y
x b
=
+ 。
請根據上述資料回答下列問題：
（答案請取四捨五入至小數點後第
1 位）
(1). 選出 x、y 的相關係數 r 的正確範圍。
(A).
1
r
= − (B). 1
0.7
r
− −
(C). 0.7
0.3
r
−
−
(D). 0.3
0.7
r
(E). 0.7
1
r
(F).
1
r
=
(2). y 對 x 的迴歸直線中的 b 值為【 】。
(3). 若阿明同學期末考成績為 60 分，則其標準化分數為【 】。
(4). 若阿凱同學期末考時因故請假，且他在期中考時的分數為 60 分，
則可預期阿凱同學在參加期末考的補考時，可以得到幾分？
四、計算證明題：一題
12 分，共計 12 分。
12. 設數列〈
n
a 〉滿足「
3
36
a =
且對任意正整數
n，
1
2
4
n
n
n
a
a
n
+
+
=
+ 恆成立」，
(1). 列出數列的前 5 項
1
a 、
2
a 、
3
a 、
4
a 、
5
a 。（4 分）
(2). 推測（2 分）並以數學歸納法驗證此數列的一般項
n
a 。（6 分）
3
桃園市立武陵高中
111 學年度第二學期高一數學科第一次期中考
(101 班至 120 班)_教師解答卷
範圍：數列與級數、數據分析
班級：
________ 座號：________ 姓名：____________ 成績：____________
一、多選題：每題
8 分，3 題共 24 分。（每題至少有 1 個選項是正確的，答錯 1 個選項者，得 5 分；
答錯
2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項者，該題以 0 分計算。）
1. B、E
2. B、C、E
3. B、C、D
二、填充題：每格
6 分，8 格共計 48 分。
4.
3
、
17
(全對才給分)
5. 67
多寫％，扣
2 分
6. (1).
2
5
6. (2).
10
7.
,
,
,
X V
X U
X Y
r
r
r
,
,
X X
X Z
r
r
=
順序顛倒寫，扣
2 分
8.
679
9. 3996
10. 1000
三、混合題：每小題
4 分，共計 16 分。（答案請取四捨五入至小數點後第 1 位。）
(1). 答案：【 E 】（單選）
(2). 答案：【
30.5
】（填充）
(3). 答案：【 -0.1 】（填充）
(4). 答案：【
66.5
】（計算）
（需有計算過程）
視為計算題斟酌給分
四、計算證明題：一題
12 分，共計 12 分。（需有詳細邏輯說明與證明過程。）
(1). 〈
n
a 〉：4、16、36、64、100（每少寫一項扣 2 分）
(2). 推測此數列的一般項為
2
4
n
a
n
=
（
2 分）
欲證：對所有正整數
n 而言，
2
4
n
a
n
=
1. 當
1
n
= 時：
2
1
4 1
4
a
= =
當
1
n
= 時原命題成立。（2 分）
2. 設當 n k
= 成立時，即：
2
4
k
a
k
= （2 分）
( )
(
)
2
2
1
2
2
4
4
4 4
1
k
k
k
k
a
a
k
k
k
k
+
+
+
=
+ =
+ =
+
1
n k
= + 時原命題亦成立。
3. 故由數學歸納法可知，對所有正整數 n 而言，
2
4
n
a
n
=
恆成立。（
2 分）