國立武陵高中 106 學年度下高二自然組數學科第二次期中考 試題卷
範圍：第四冊 CH2～3-3 (轉移矩陣)
二年_____班_____號 姓名：______________
一、填充題（共 52 分，如配分表）
1.
設
2
1
3 5
A
，
1
4
4 0
B
，矩陣 X 滿足
3
2
X
A
B
X
A
，則
X
.
2.
求兩平行直線
1
1
1
4
2
1
3
x
y
z
L
：
與
2
2
1
4
2
6
x
y
z
L
：
之間的距離為 .
3.
試解 x, y, z 的聯立方程式
4
5
2
3
3
1
6
20
1 2
3
1
x
y
z
，則
, ,
x y z
.
4.
已知正四面體 ABCD 中，
AB
邊所在的直線為
6
2
1
1
2
2
x
y
z
，
CD
邊所在的直線為
3 2
1 2 ,
1
x
t
y
t t
z
t
＝
＝
＝
。若
AB
的中點為 M，
CD
的中點為 N，則
MN
.
5.
設
8 10
ij
A
a
、
10 9
ij
B
b
、
8 9
ij
C
c
，其中
2
2
ij
a
i
j
，
2
ij
b
i
j
。若
AB C
，
則
24
c
. （已知
n
時，
2
2
2
2
1 2
1
1
2
3
6
n n
n
n
）
6. 假設兩有理數列
n
a
、
n
b
（即數列的每一項皆為有理數）滿足
1
2
2
n
n
n
a
b
，其中
n 為正整數。若二階方陣 A＝
d
c
b
a
滿足
3
3
n
n
a
b
＋
＋
＝A．
n
n
b
a
，試求二階方陣 A＝ .
7.
已知空間中的三個向量
, ,
u
x y z
、
, ,
v
a b c
、
1, 1, 2
w
兩兩垂直，且
2
=3
u
v
w
。若
1
1
2
x
a
A
y
b
z
c
，
1 1
2
x
y
z
B
a
b
c
，則
n
BA
.
(請用 n 表示，n 為一正整數)
8.
設增廣矩陣
1
2
3
4
2
5
7
1
0
3 2
2
M
。已知矩陣的每一種列運算皆可對應成某種矩陣的乘積，
舉例來說，若將矩陣 M 的第一列乘上 4 加到第二列，等同於計算 EM，其中
1 0 0
4 1 0
0 0 1
E
。
現依照下述步驟對 M 進行列運算，步驟一：第一列乘上
2
加到第二列 → 步驟二：第二列
乘上 3 加到第三列 → 步驟三：第三列乘上
1
5
，最後得到之矩陣為 N。已知有一個 3 階方陣 X
滿足
XM
N
，則
X
.
9.
在 A 袋中有 2 黑球 1 白球。小波做一抽球實驗如下：先投擲一枚不公正硬幣（出現正面的機
率為
2
3
），若為正面，則從 A 袋中隨機抽出一球丟棄，並另外取一顆同色球放入 A 袋；若為
反面，則從 A 袋中隨機抽出兩球丟棄，並另取 1 黑球 1 白球放入 A 袋。以上『投擲硬幣→抽
球丟棄
→補球』的過程稱為一局實驗。若進行的局數足夠多時，A 袋中有 2 黑球 1 白球的機率
會趨近於 .
二、多選題（共 32 分，每題 8 分。答錯一個選項得 5 分、兩個選項得 2 分、三個以
上或未作答得 0 分）
1.
武林盟的小銓參加打靶射擊訓練，依據過去經驗，當他前一發射擊命中靶時，下一發的命中率
為 80%；當他前一發射擊沒有命中靶時，則下一發的命中率為 40%。假設矩陣
2 2
ij
A
a
表示
小銓射擊的轉移矩陣，其中
11
a
前一發命中時，下一發的命中率；
12
a
前一發未命中時，下
一發的命中率。已知小銓的第一發射擊即命中靶，試問下列敘述哪些正確？
(A)
21
0.6
a
(B)
3
2
1
8
A I
亦為轉移矩陣
(C) 小銓第 5 發沒有命中靶的機率為 32.48 %
(D) 若
10
2 2
ij
A
p
，則
11
p
可代表連續命中 10 發的機率
(E) 長期而言，小銓的射擊命中率會趨近於
2
3
.
2.
設矩陣 A、B 和 C 皆為 n 階非零方陣，I 是 n 階單位方陣，其中 n 為正整數。試問下列哪些敘
述恆正確？
(A)
A
B C
AC
BC
(B) 若
A I
且
A
I
，則
3
A
A
(C) 若
AC
BC
，則
CA CB
(D) 若
AB BA I
，則
10
10
ACB
AC B
(E)
2
2
2
2
AB C
A
BC
.
3.
設 a，b，c 為實數，下列有關線性方程組
6
3
9
4
2
8
2
2
ax
y
z
x by
z
x
y z c
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝
的敘述哪些是正確的？
(A) 若
6
a
且
4
b
，則此線性方程組必為恰有一組解
(B) 若
6
a
且
4
b
，則此線性方程組有可能為無限多組解
(C) 若
6
a
且
3
c
，則此線性方程組必為無限多組解
(D) 若此線性方程組為無解，則
3
c
且
4
c
(E) 若此線性方程組為無解，則
6
a
或
4
b
4.
設空間中直線
1
2
0
5
4
3
1
x y
z
L
x
y
z
＋
＝
：
＋
＝
、
2
1
2
4
1
1
3
x
y
z
L
：
、
3
10 2
1
11
4
5
1
x
y
z
L
：
、
4
6 2
4 5 ,
3
x
t
L
y
t t
z
t
：
，則下列敘述哪些正確？
(A)
1
L
和
2
L
平行
(B)
3
L
和
4
L
平行
(C)
1
L
和
3
L
相交於一點
(D)
2
L
和
4
L
垂直
(E)
1
L
和
4
L
歪斜
三、計算題（共 16 分，第 1 題 6 分；第 2 題 10 分）
1.
設二階方陣
4
1
1 2
A
(1) 試證：
2
2
2
6
9
A
A
I
O
.
(2) 試利用(1)之結果，計算
4
3
2
2
2
10
5
23
9
A
A
A
A
I
之值。
2.
已知
k
為實數，根據
k
值討論聯立方程組
2
2
3
4
4
6
2
2
6
x
y
z
x ky
z
x
y
k
z
解的狀況（回答恰有一解、
無解或無限多解。若為無限多解時，則須寫出其解）
，及其對應之三平面的相交關係為何。
國立武陵高中 106 學年度下高二自然組數學科第二次期中考 答案卷
範圍：第四冊 CH2～3-3 (轉移矩陣)
二年___ __班__ ___號 姓名：_ _ ____________
一、填充題（共 52 分，如下表所示）
答對格數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
得分
10
18
25
30
35
40
44
48
52
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
二、多重選擇題（共 32 分。每題 8 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯三個選項以上或未作
答者得 0 分）
1.
2.
3.
4.
三、計算題（共 16 分，第 1 題 6 分；第二題 10 分）
1.
2.
國立武陵高中 106 學年度下高二自然組數學科第二次期中考 答案卷
範圍：第四冊 CH2～3-3 (轉移矩陣)
二年_____班_____號 姓名：______________
一、填充題（共 52 分，如下表所示）
答對格數
1
2
3
4
5
6
7
8
9
得分
10
18
25
30
35
40
44
48
52
1.
1
11
9
5
2.
21
7
3.
3, 1, 2
4.
3
5.
1380
6.
7 10
5
7
7.
36
0
0
0
9
0
0
0
4
n
n
n
8.
1
0
0
2
1
0
6
3
1
5
5
5
X
9.
1
2
二、多重選擇題（共 32 分。每題 8 分，答錯一個選項得 5 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯三個選項以上或未作
答者得 0 分）
1.
BCE
2.
AD
3.
AE
4.
BCE
三、計算題（共 16 分，第 1 題 6 分；第二題 10 分）
1.
(1) 略 (2 分)
(2)
4
1
1
2
(4 分)
2.
2 2
3
1
4
2 2
3
1
2
2
k
k
k
k
…………(1 分)
(i) 當
2
k
且
3
2
k
時，方程式恰有一解，
此時三平面相交於一點； ………… (2 分)
(ii) 當
3
2
k
時，方程式無解，
此時三平面兩兩交於一線且三線平行； ………… (2 分)
(iii) 當
2
k
時，方程式無限多解，解為
2 2
4 5 ,
2
x
t
y
t
t
z
t
， ……… (2 分)
此時兩平面重合且與第三個平面交於一線。 ………… (3 分)