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臺北市立成功高中 106 學年度第一學期一年級第二次期中考 數學科 試題卷
一、多重選擇題(每題 8 分，共 16 分。答錯一個選項得 5 分，答錯二個選項得 2 分，其餘得 0 分。)
1.(1)令實係數多項式 ()(1)(1)(1)(2)(1)(2)Fx ax x bx x cx x ，且滿足 (1) 3F
，
(2) 5F，(1) 1F
；
(2)令實係數多項式 ()Gx滿足 (1) 3G
，(2) 5G
，(1) 1G
，且deg ( ) 3Gx；
依據上述條件(1)(2)，試判斷下列選項哪些正確？
(A) ()Fx為二次多項式。
(B) ()Fx為過(1,3),(2,5),( 1, 1) 三點的插值多項式。
(C) ()Gx除以(1)(1)(2)
x
xx的餘式為 ()Fx。
(D) ()Gx除以(1)(1)
x
x的餘式為 ()Fx。
(E) (3) 8F。
2.已知整係數五次多項式
5432
()
f
xaxbxcxdxexf
，
若()
f
x值之正負如右表所示：
且已知 (2 1) 0
f
i，則關於 () 0
f
x
之根的情形，下面敘述哪些是正確的？
(A)在2與1之間恰有一實根。
(B)在0與1之間可能不只有一個實根。
(C) () 0
f
x必有三實根。
(D) 21i為() 0
f
x之根。
(E)若3
(1 2) 0f
，則 3
(1 2) 0f
。
二、填充題(每題 5 分，共 65 分。完全答對才給分)
1.計算下列各複數，請表示成 abi
的形式(其中 ,ab R
)
(1) 5
23 4
=(A)。
x 2101
()
f
x值+－－+
2
(2) 1(1)
2ii
i
=(B)。
2.不等式
225
1
1
xx
x
的解為(C)。
3.試計算
543 2
7 6(7) 4(7) 25(7) 30(7) 6(D)。
4.設32 43 2
() ( 2)( 2 6)fx x x x x x x x ，若 ()
f
x展開後的各項係數和為 a，各偶次項係數和
為b，則數對(,ab)=(E)。
5.若實係數多項式 43
32ax bx x除以 2
21
x
x
的餘式為 21
x
，則數對(,ab)=(F)。
6.設實係數多項式 ()
f
x除以 2
(1)( 23)xxx的餘式為 2
231
x
x
，則 ()
f
x除以 223
x
x
的餘式為
(G)。
7.若
，
，
為32
26340
x
xx
的三個根，試求下列各值：
(1) 222
=(H)。
(2) (2)(2)(2 )
=(I)。
8.已知二次不等式 () 0
f
x的解為 23
x
，則(2)()0
x
fx
的解為(J)。
9.已知整係數方程式 32
630
x
mx nx
有三個有理根
、
、
，其中01
，21
，則
數對(m,n)=(K)。
10.設32
() 8 16 7fx x x =32
(2 1) (2 1) (2 1)ax bx cx d
，其中 ,,,abcd為常數。
(1)數組(,,,abcd)=(L)。
(2)求(0.499)
f
的近似值到小數點後第二位為(M)。(小數第三位四捨五入)
三、計算題(共 19 分。請寫詳細過程，過於簡略不予計分)
1.設43 2
() 6 5 10 3 2fx x x x x
(1)由有理根檢驗法，請列出 () 0
f
x
的所有”可能”的有理根。(全對才給分)(2 分)
(2)試因式分解 ()
f
x，並求出 () 0
f
x
的解。(6 分)
(3)求出 (2 ) 0
f
x的解。(4 分)
2.設a為實數，且方程式 2210ax x i有純虛根，試求出 a值以及方程式的解。(7 分)
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臺北市立成功高中 106 學年度第一學期一年級第二次期中考 數學科 參考答案
一、多重選擇題(每題 8 分，共 16 分。答錯一個選項得 5 分，答錯二個選項得 2 分，其餘得 0 分。)
1.2.
BCDAC
二、填充題(每格 5 分，共 65 分。完全答對才給分)
ABCD
5
62i 62
55
i
14 1
x
x
8
EFGH
(9,9) (4,2) 5
x
6
IJKL
121
2 32
x
x (13,4) (1,7,11,12)
M
11.98
三、計算題(共 19 分。請寫詳細過程，過於簡略不予計分)
1.
(1) 1112
1, 2, , , ,
2363
(2 分，全對才給分)
(2)
因式分解 2
( ) (2 1)(3 1)( 2)fx x x x x (2 分)
所以 () 0
f
x的解為 1117
23 2
i
(4 分)
(3)
2
(2 ) (4 1)(6 1)(4 2 2) 0fx x x x x
得解為 11
64
x(4 分)
2.
4a
(3 分)
解為 111
222
ii
(4 分)