第一頁,共二頁
臺 北 市 立 成 功 高 級 中 學 1 0 5 學 年 度 第 一 學 期 一 年 級 數 學 科 第 二 次 期 中 考 題 目 卷
※請勿使用計算紙和計算機(只能在題目卷上計算)
一、多重選擇題（共 24 分,每題 8 分,答錯一選項得 5 分,答錯兩選項得 2 分,其餘得 0 分）
1. 設三次多項式
3
2
f x
ax
bx
cx d
, 請問下列哪些選項正確？
(1) 若 , , ,
a b c d 為複數,
1
i , 則方程式
0
f x 恰有三個複數根 (重根亦重複計算)
(2) 若 , , ,
a b c d 為實數,
1
i , 且滿足
4 3
0
f
i
, 則
4 3
0
f
i
(3) 若 , , ,
a b c d 為有理數, 且滿足
3
2
5
0
f
, 則
3
2
5
0
f
(4) 若 , , ,
a b c d 為整數, 且滿足
3
0
2
f
, 則 3 能整除 a 且 2 能整除 d
(5) 若 , , ,
a b c d 為正整數, 則方程式
0
f x 沒有正實數根
2. 設實係數三次多項式
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
d
, 部分的 ( )
f x 函數值正負如下表,請問下列哪些選項正確？
(例如：根據上表,
4
0
f
,
2
0
f
,…依此類推。)
(1) 方程式
0
f x 在 3
2
x
時恰有一實根
(2) 方程式
0
f x 在 2
1
x
時恰有一實根
(3) 方程式 ( ) 0
f x 在
1
0
x
時無實根
(4) 方程式 ( ) 0
f x 恰有三實根
(5) 方程式 ( ) 0
f x 恰有一正實根
3. 設多項式
2017
1
f x
x
, 請問下列哪些選項正確？
(1)
f x 除以
1
x 的餘式為 2
(2)
f x 除以
2
1
x 的餘式為
2
(3) 已知
f x 除以
2
1
x
x
的餘式為
1
x , 則
f x 除以
3
1
x 的餘式為
1
x
(4) 利用
f x 可推得
2017
6
除以 35 的餘數為 6
(5) 利用
f x 可推得
2017
3
除以 26 的餘數為
4
二、填充題（共 60 分,每格 5 分,完全答對才給分）
1. 設整係數方程式
4
3
2
14
0
x
ax
bx
cx
有四個相異有理根, 則 a b c
的值為_________
2. 設多項式
f x
除以
2
1
x
x
的餘式為 5
2
x , 試求
1
x
f x
除以
2
1
x
x
的餘式為_________
3. 設
3
2
4
9
1
f x
x
x
x
, 若
1
1
2
1
2
3
f x
a b x
c x
x
d x
x
x
, 求
, , ,
a b c d
_________
x
3
2
1
0
( )
f x 的值
－
＋
－
－
第二頁,共二頁
4. 已知三次多項式 ( )
f x
滿足
3
2
0,
1
2,
0
54
f
f
f
f
, 試求
f x
的各項係數總和為_________
5. 設
2
2
15
22
f x
x
x
, 試估計
2.99
f
的近似值為________(四捨五入至小數第二位)
6. 設實係數多項式
3
( )
f x
ax
bx
滿足 (1
)
3 4
f
i
i
, 其中
1
i
, 則
2
3
98
99
f i
i
i
i
_________
7. 設 x 是實數,若不等式 2
1
2
1
x
x
的解為 a x b
, 求
,
a b
____________
8. 設
3
2
6
f x
x
x
x k
, 若
1 2
6
f
i
i
, 其中
1
i
, 試求實數 k _________
9. 設 m 為一實數,若不等式
2
2
4
2
1
3
4
2
x
mx
m
x
x
對所有實數 x 均成立,則 m 的範圍為_________
10. 設 , , ,
a b c d
為四個相異實數且滿足
x b
x c
x d
x a
x c
x d
x a
x b
x d
x a
x b
x c
f x
a b a c
a d
b a b c b d
c a c b c d
d
a
d
b d
c
,
試利用多項式的恆等定理求出
1
2
2016
2017
f
f
f
f
的值為_________
11. 若 ,
為方程式
2
8
4
0
x
x
之兩根, 則
2
_________
12. 設 a 為實數且方程式
3
2
1 0
x
x
ax
有純虛根,則 a _________
三、計算題 (共 16 分,每題 8 分,請詳細在答案卷上書寫計算過程,否則不予計分)
1. 設多項式
4
3
2
4
6
7
10
f x
x
x
x
x
, 試回答下列問題：
(1) 請利用有理根檢驗法求出方程式
0
f x
的有理根 (4 分)
(2) 試求不等式
2
0
1
2
1
f x
x
x
x
x
的解 (4 分)
2. 麥麥是個愛喝飲料的高中生,有一天他將一瓶紅茶從冰箱拿出來退冰。因麥麥牙齒過敏,不能喝太冰的飲料,所以希望在飲
用時,紅茶的溫度至少為 20 C
以上。故麥麥以「分鐘」為單位,記錄退冰的時間 x 與對應的溫度 y 如下：
例如,拿出來退冰 2 分鐘後,紅茶的溫度為 4 C
。試回答下列問題：
(1) 麥麥想利用此 4 筆資料做一個次數為 3 次的插值多項式
f x ,用來模擬真實的溫度函數。請用拉格朗日插值法幫助
麥麥寫出
f x ,使滿足
0
2
f
,
1
3
f
,
2
4
f
,
4
7
f
. 不需展開,答案請化簡至形式
1
2
3
1
2
4
1
3
4
2
3
4
a x h
x h
x h
b x h
x h
x h
c x h
x h
x h
d x h
x h
x h
. (4 分）
(2) 試利用(1)中所求之多項式來估計,拿出來退冰至少幾分鐘(整數)後,麥麥就可以開始飲用紅茶？
(即滿足
1
20
f k
f k
的最小整數 k ) (4 分)
時間 x (分鐘)
0
1
2
4
紅茶溫度 y (
C
)
2
3
4
7
臺北市立成功高級中學 105 學年度第一學期一年級數學科第二次期中考參考答案
班級： 座號： 姓名：
一、 多重選擇題（共 24 分,每題 8 分,答錯一選項得 5 分,答錯兩選項得 2 分,其餘得 0 分）
1 .
2 .
3 .
1 2 5
1 2 3 4 5
1 3 4
二、 填充題（共 60 分,每格 5 分,完全答對才給分）
1 .
2 .
3 .
4 .
5 .
6 .
-15
2
3
x
7, 4, 2,1
204
4.97
3
4i
7 .
8 .
9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
1 2
,
3 5
2
k
2
3
m
2 0 1 7
12
1
三、 計算題 (共 16 分,每題 8 分,請詳細在答案卷上書寫計算過程,否則不予計分)
1.
(1) 有理根：
2, 5
(每個解 2 分)
(2)
5
1,
2
x
x
x
(只解出
5
1
x
x
得 3 分)
(計算部分閱卷老師可自行斟酌給分)
2.
(1)
1
1
2
4
4
2
4
1
4
7
1
2
24
f x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
(每算對一個部分即給一分，共四個部分)
(2) 8 分鐘後
(計算部分閱卷老師可自行斟酌給分)