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武陵高中 113 學年度下學期高一數學科第一次期中考題目卷(102-120)
範圍：翰林版數學 2. 第一、二章 班級： 座號： 姓名：
一、單選題(1 題5分，共 10 分)
1. 下列 4組原始數據的散布圖，請問何者的相關係數最小？
(1) (2) (3) (4)
2. 奇美拉某次段考的成績統計如下表：
奇美拉得分
全班平均
全班標準差
數學
75
65
5
英文
82
70
8
請利用標準化分數，相較於全班成績，請問奇美拉在哪一科表現的最好？
(1) 數學 (2) 英文 (3) 兩者一樣好 (4) 兩者無法比較
二、多選題(1 題10 分，共 30 分，每題錯一個選項得 6分，錯二個選項得 2分，錯三個以上
選項得 0分)
3. 設有 n筆二維數據(𝑥𝑖，𝑦𝑖)，滿足 𝑦𝑖= −0.8𝑥𝑖+ 1，𝑖 = 1,2, … , 𝑛。已知數據𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛
的算術平均數為10，變異數為 4，請選出正確的選項。
(1) 數據𝑦1，𝑦2，…，𝑦𝑛 的算術平均數為 −7 (2) 數據𝑦1，𝑦2，…，𝑦𝑛 的標準差為 −1.6
(3) x與y的相關係數為 −0.8 (4) 𝑦對x的最適直線斜率為 −0.8
(5) 𝑦 對x的最適直線必通過點 (0,1)
說明：選填題的題號是 A,B,C,….，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，
且每一個列號只能在一個格子畫記。例：若第 B題的答案格式是○
20 ○
21 ，而答案是
7−
時，則考生必須分別在答案卡的第 20 列的–與第 21 列的 7畫記。該題兩格需完全正
確，才算答對。
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4. 設數列< 𝑎𝑛>的前 n項和為 𝑆𝑛 ，已知 4𝑎𝑛= 5𝑆𝑛+ 5 (𝑛為正整數)，請選出正確的選項。
(1) 𝑎1=−5
(2) 𝑎2=20 (3)
< 𝑆𝑛>形成公比為 −4 的等比數列
(4)
< 𝑎𝑛>形成公比為 −4 的等比數列 (5)
𝑆5= −1025
5. 如圖一，現有一個大型的棋盤格，在其中一個方格上放一顆白棋，接著分別使用黑棋與白
棋重複以下操作：
在已放置圍棋棋子的相鄰一圈所有方格中放置新的圍棋，第一次的操作下黑棋(如圖二)，
第二次的操作下白棋(如圖三)，以此類推，奇數次的操作放黑棋，偶數次的操作放白棋。
請選出正確的選項。
(1)第三次操作下了 24 個黑棋
(2)第四次操作下了 34 個白棋
(3)當新下的圍棋數量為 88 顆時，是第 22 次的操作
(4)操作了 11 回後，棋盤上的黑棋有 288 個
(5)操作了 11 回後，棋盤上的白棋有 240 個
三、選填題：第一部分 (1 題6分，共 30 分)
A. 已知二維數據(2 − 𝑥𝑖，𝑦𝑖)的相關係數為 3
5，則新數據(3𝑥𝑖，3 − 2𝑦𝑖)的相關係數為 ○
6
○
7。
(請化為最簡分數)
圖一
第一次
操作
第二次
操作
圖二
圖三
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B. 烏薩奇投資 ETF，已知最近兩年的投資報酬率分別為21%、96%，則烏薩奇這兩年每年的
平均投資報酬率為 ○
8○
9 % 。
C. 測量五位同學的身高 x與步幅 y
(跑步時每次步伐的距離)，結果如下表。
試求身高與步幅的相關係數為 ○
10
○
11 。(請化為最簡分數)
D. 承C，請利用最適直線預測當身高是 183 公分時，步幅為 ○
12 ○
13 公分。
E. 已知等比數列< 𝑎𝑛>的首項為 2，等差數列< 𝑏𝑛>的前 n項和為 𝑆𝑛，且𝑎1+ 𝑎2= 6，
2𝑏1+ 𝑎3= 𝑏4，𝑆3= 3 𝑎2，則 𝑏30 =○
14 ○
15 。
四、選填題：第二部分 (1 題5分，共 20 分)
F. 有四個實數 a、b、c、d，其中 a、b、c形成公差為正數的等差數列，b、c、d成等比數
列，若 𝑎 + 𝑑 = 22，𝑏 + 𝑐 = 21，則 𝑑 = ○
16 ○
17 。
身高(公分)
160
164
168
172
176
步幅(公分)
65
63
67
71
69
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G. 假設數據𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5
的標準差是2，則函數
𝑓(𝑥)=(𝑥 − 𝑥1)2+(𝑥 − 𝑥2)2+(𝑥 − 𝑥3)2+(𝑥 − 𝑥4)2+(𝑥 − 𝑥5)2
的最小值為 ○
18 ○
19 。
H. 如果數列 𝑎1，𝑎2，…，𝑎𝑛 ( 𝑛 為正整數)滿足 𝑎1= 𝑎𝑛，𝑎2= 𝑎𝑛−1，…，𝑎𝑛= 𝑎1，
即 𝑎𝑖= 𝑎𝑛−𝑖+1，我們稱其為「對稱數列」。
例如：數列「1,2,3,2,1」或數列「1,3,7,7,3,1」為對稱數列。
若 𝑏1，𝑏2，…，𝑏2𝑘−1 (𝑘 ≥ 2)是項數為 2𝑘 − 1 的對稱數列，且𝑏𝑘，𝑏𝑘+1，…，𝑏2𝑘−1 形成首
項為 50，公差為 −4 的等差數列，則 𝑏1+ 𝑏2+ ⋯ + 𝑏2𝑘−1 的最大值為 ○
20 ○
21 ○
22 。
I. 將正整數以順時針方向螺旋狀排列，如右圖所示，
令 2025 的上、下、左、右的數字分別為 a、b、c、d，
則 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 的值為 ○
23 ○
24 ○
25 。
(例如：1 的上、下、左、右的數字分別為 8、4、6、2 )
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武陵高中 113 學年度下學期高一數學科第一次期中考答案卷(102-120)
班級： 座號： 姓名：
五、證明題(共10 分) (需寫下詳細證明過程，並直接書寫於此張答案卷上)
請利用數學歸納法證明：
1＋3＋5＋7＋……+（2n －1）＝n2，對所有正整數 n 均成立。
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武陵高中 113 學年度下學期高一數學科第一次期中考答案 (102-120)
範圍：翰林版數學 2. 第一、二章
一、單選題(1 題5分，共 10 分，每題錯一個選項得 5分，錯二個選項得 2分，錯三個以上選
項得 0分)
1. 2
2. 1
二、多選題(1 題10 分，共 30 分，每題錯一個選項得 6分，錯二個選項得 2分，錯三個以上
選項得 0分)
3. 145
4. 1245
5. 14
三、選填題：第一部分 (1 題6分，共 30 分)
A. 3
5 B. 54 C. 4
5 D. 73 E. 88
四、選填題：第二部分 (1 題5分，共 20 分)
F. 16 G.20 H. 626 I. 356
五、證明題(共10 分)
(1) 當 n＝1 時，2 ×1 －1＝12，原式成立 (2 分)
(2) 設 n＝k 時，原式成立，即 1＋3＋5＋7＋……+（2k －1）＝k2 (2 分)
則 n＝k＋1 時，
1＋3＋5＋……+（2k －1）+〔2（k＋1）－1〕
＝k2＋2k＋1 ＝（k＋1）2
所以 n＝k＋1 時，原式也成立 (4 分)
故由數學歸納法可知，原式對所有正整數 n 均成立 (2 分)