桃園市立武陵高中
113 學年度第一學期 高一數學 第一次段考
範圍：翰林版
第 1 章 數與式 & 第 2 章 指數對數
班級：
座號： 姓名：
一、多重選擇題：（每題
8 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分）
1.
（ ）請選出正確的選項。 (A) 若 a 是有理數，
b
是無理數，則
ab 必為無理數
(B) 數線上相異三點 A(a)、B(b)、P(x)，若 a < b 且
x
a
b
x
3
2
，則 a < x < b
(C) 不等式
x
x
3
2
與不等式
2
2
3
2
x
x
的解相同
(D)
3
27
27
3
3
1
(E)
1
9
.
0
2.
（ ）令
7
3
x
，
7
3
y
，請選出正確的選項。
(A)
4
xy
(B)
34
2
2
y
x
(C)
180
3
3
y
x
(D)
1018
4
4
y
x
(E)
4
7
3
的整數部分為
1015
二、填充題：（答案均須計算出來，不得以指數型式表示）
（第一部分，每格
4 分）
1.
解方程式
x
x
3
2
，得
x = 。
2.
試求
4
5
.
2
3
2
64
25
.
0
8
= 。
3.
若
，
，則
=____________。
4.
設 a = log100，b = 10
log7
，則數對
(a, b)= 。
2
6
x
2
3
y
2
3
2
2
x
y
5.
若已知 log8.9638 = 0.9527，則 log0.089638 = 。
6.
武陵高中奇異鳥身上的羽毛稱為「奇異毛」，若已知
13
10
6
根奇異毛的重量約為
405 克，求一根
奇異毛的重量為
克。（用科學記號表示並將係數部分四捨五入取兩位有效數字）
（第二部分，每格
6 分）
7.
設
25
3
x
，
81
5
y
，則
xy = 。
8.
設 a > 0 且
32
7
.
0
a
，則
49
.
0
a
。
9. 若
3
1
1
2
2
2
x
，求實數
x 的值為 。
10.
若 x, y 為實數並滿足
2
7
10
2
2
3
2
12
17
y
x
及
y
x
2
2
，求數對
(x, y) = 。
11.
數線上有兩動點 A(a)、B(b)，滿足
1
3
a
及
5
15
2
b
，若點
P(x)在線段 AB 上，
且
2
:
1
:
BP
AP
，則
x 的範圍以區間表示為 。
12.
已知聯立不等式
b
a
x
x
3
1
的解為
12
4
x
，則
b 的最大值為 。
13.
若 x > 2，求
2
1
2
x
x
的最小值為
。
14. 已知培養皿中某細菌的數量每隔 3 個小時就會變為原本的 4 倍，若在培養皿中放入 2 個細菌開始
培養，則最少需經過
小時（答案請寫整數）
，細菌數量才會超過
10000 個。
（已知
2
10
3
.
0
）
三、計算證明題：（共
12 分）
1.
雙十節時小煥去武陵農場玩，去程與回程皆走相同的路線，已知單趟車程距離為 150 公里，若去程
的平均時速為每小時
a 公里，回程的平均時速為每小時 b 公里，來回路程的平均時速為每小時 k 公
里。試回答下列各題：
(1)
試以 a、b 來表示 k。
（
3 分）
(2)
試證明
ab
k
。
（
6 分）
(3)
若 k = 60，試求 a + b 的最小值，以及此時的 a 及 b 各為多少？
（
3 分）
且每⼩時增長的倍數固定。
桃園市立武陵高中
113 學年度第一學期 高一數學 第一次段考
班級：
座號： 姓名：
一、多重選擇題（每題
8 分）
二、填充題：（第一部分每格
4 分）
1
2
3
4
5
6
（第二部分每格
6 分）
7
8
9
10
11
12
13
14
三、計算證明題：（共
12 分）
1 (請標明題號並詳列計算證明過程)
1
2
桃園市立武陵高中
113 學年度第一學期 高一數學 第一次段考
班級：
座號： 姓名：
一、多重選擇題（每題
8 分）
二、填充題：（第一部分每格
4 分）
1
2
3
4
5
6
2
1
32
2
243
(2, 7)
1.0473
6.8
10
12
（第二部分每格
6 分）
7
8
9
10
8
8
2
1
3
(2
2
,
2
)
11
12
13
14
[
2, 1]
7
4
19
三、計算證明題：（共
12 分）
1 (請標明題號並詳列計算證明過程)
(1) 去程花的時間為
a
150
；回程花的時間為
b
150
，
b
a
ab
b
a
b
a
k
2
1
1
2
150
150
300
(2) 欲證
ab
b
a
ab
2
（共 6 分，閱卷老師可自行斟酌給分）
0
4
4
1
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
ab
b
a
ab
b
a
ab
b
a
ab
ab
b
a
b
a
ab
b
a
ab
ab
2
2
2
b
a
ab
ab
又
ab
、
b
a
ab
2
皆為正數，故
b
a
ab
ab
2
（另解）由算幾知
ab
b
a
2
ab
b
a
1
2
，
ab
ab
ab
b
a
ab
b
a
ab
1
2
2
(3)由算幾知
ab
b
a
2
（等號成立時機為
a = b）
，又由上題可知
k
ab
（等號成立時機也為
a = b）
，
故
k
ab
b
a
2
，且當
a = b 時，
k
ab
b
a
2
若
k = 60，則 a + b 有最小值 120，此時的 a = b = 60 （共 3 分，閱卷老師可自行斟酌給分）
1
2
BE
CE
（
1 分）
（
1 分）
（
1 分）