1
臺北區高中
臺北區高中
臺北區高中
臺北區高中 109 學年度第二學期指定科目第二次模擬考
學年度第二學期指定科目第二次模擬考
學年度第二學期指定科目第二次模擬考
學年度第二學期指定科目第二次模擬考
數學
數學
數學
數學乙
乙
乙
乙
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(共占
共占
共占
共占 74 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 18 分
分
分
分)
1. 下列哪一個選項是對數方程式
log(10 )
log
log
log(10 )
x
x
x
x
=
的解？
(1)
1
10
(2)
1
10
(3)
1
2
(4)
2 (5)
10
2.
將
21
個連續正整數
2001
，
2002
，
......
，
2021
任意排成一列，得到一個
84
位整數 x。若
1
2
2
n
n
x
+
< <
，則正整數
n
的值為下列哪一個選項？（註：
log 2
0.3010
≈
)
(1) 83 (2) 84 (3) 276 (4) 277 (5) 278
3.
數學老師準備白色與紅色球各
15
顆，
30
位學生依序丟擲一枚均句硬幣，若擲出正面就從
老師的球裡頭拿走一顆白球，反面就拿走一顆紅球；當老師的某種顏色球先被拿完了，
就停止丟擲硬幣。試問當停止丟擲硬幣時，老師還剩下
5
顆球的機率為下列哪一個選
項？
(1)
24
10
24
2
C
(2)
24
10
25
2
C
(3)
24
10
30
15
C
C
(4)
25
10
24
2
C
(5)
25
10
25
2
C
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 24 分
分
分
分)
4.
已知
x
的一次不等式
30
40
ax b
x
− ≥
−
的解為
1
x
≤ 。若
a
，
b
皆為正整數，請選出正確的選
項。
(1) b
的最小值為
1 (2) b
的最大值為
40 (3)
70
a b
+ =
(4)
10
a b
− = −
(5)
滿足這些條件的數對
( , )
a b
共有
29
組
5.
己知多項式
( ), ( )
f x g x
滿足
2
2
( )
(
1)(
1)
( ) ( 2
2)
f x
x
x
g x
x
=
−
+
⋅
+ −
+
，且
( )
f x
除以
2
(
1)(
1)
x
x
+
−
的餘式為
2
2
2
x
− 。請選出正確的選項。
(1)
(1)
( 1)
0
f
f
=
−
=
(2)
( )
f x
除以
2
(
1)
x
−
的餘式為
0
(3)
( )
f x
除以
2
(
1)
x
+
的餘式為 4
4
x
−
(4)
(1)
2
g
=
(5)
( )
f x
除以
2
2
(
1)
x
−
的餘式為二次多項式
6.
平面上三角形
ABC
中，
D
為
BC
邊的中點，
1
2
,
E E
為
CA
邊的
三等分點，
1
2
,
F F
為
AB
邊的三等分點，如右圖所示。
已知其中三點坐標
1
1
(1, 4),
(5, 4),
( 1, 1)
D
E
F
− − ，請選出正確的選項。
(l )
△
1
DE F
的重心是△
ABC
的重心
(2)
三角形
1
DE F
面積為
10 (3)
三角形
ABC
面積為
40
(4)
8
AB AC
⋅
= −
(
向量內積
) (5)
點
A
, B, C
分別在不同象限內
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題(占
占
占
占 32 分
分
分
分)
A.
設
,
α β
為兩位整數
(10
,
99)
α β
≤
≤
，若
1
23260
23067
999
100
990
n
n
β
α
∞
=
<
+
<
，
則數對
( , )
α β
=
。
RB677
2
B.
最近各大科技研究都在發展量子電腦的相關實驗和技術應用，工作環境大都維持在接近
絕對零度的環境下進行。已知當攝氏溫度為
C
x
時，華氏溫度
(
F
y
)
為
9
32
5
y
x
=
+
，絕對
溫度
(
K
z
)
為
273.15
z
x
= +
。根據某實驗室在實驗期間的統計資料，實驗裝置的平均氣溫
是華氏零下
454
度，標準差是華氏
2
度，若用絕對溫度表示，則實驗裝置的平均氣溫是
絕對溫度
度，標準差是絕對溫度
度。
(
四捨五入至整數位
)
C.
若
( )
f x
為三次的實係數多項式，且對所有實數
x
，有
(
1)
(
1) 12(
2)(
4)
f x
f x
x
x
+
−
−
=
−
−
與
(0)
0
f
=
，則
( )
f x
=
。
D.
正男想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計劃。他的餐點共有三種選擇：牛肉麵、
大滷麵及咖哩飯。正男想要依據下列原則來安排他的午餐：
●
每天只選一種餐點。
●
每種麵食至多點兩次
(
兩種麵食分別累計
)
。
●
只有某種麵食吃兩次後才開始點咖哩飯。
(
例如：「牛大牛咖大」、「大大咖咖咖」符合原則，但「大咖大牛牛」、「牛牛咖大牛」
不符合）
根據上述原則，正男這五天共有
種不同的午餐計劃。
3
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(占
占
占
占 26 分
分
分
分)
一、已知二階方陣
1
0
,
0
0
0
1
x
y
A
B
=
=
(1)
化簡下列二階方陣：
2
A
、
2
B
、
AB
與
BA
。
(4
分
)
(2)
利用
(1)
的結果，計算
3
2
2
3
3
3
A
A B
AB
B
−
+
−
。
(3
分
)
(3)
是否存在實數
x
、
y
，使得 AB
BA
≠
且下列等式成立？
3
3
2
2
3
3
2
2
3
(
)
3
3
3
3
A B
A
A B
AB
B
A
BA
B A B
−
=
−
+
−
=
−
+
−
若可能，請計算出發生此情形的
x
、
y
值，並詳細解釋或完整寫出你的解題過程與
答案；若不可能，講完整說明你的理由。
(6
分
)
二、平面上
O
為原點，
A
，
B
，
C
三點與直線
L
滿足下列性質：
●
向量
(3, 4)
OA
=
−
。
●
直線
L
通過原點，
OA
為
L
的法向量。
●
B
點在直線
L
上且
5 5
AB
=
。
●
OC
平行向量
(1, 2)
，存在實數
k
，使得向量
(1, 2)
OC
k
=
。
利用上述性質，試回答下列問題：
(1)
寫出直線
L
方程式。
(4
分
)
(2)
求出
OB
長度與
B
點坐標。
(4
分
)
(3)
若
90
BAC
∠
=
，則實數
k
值是多少？
(5
分
)
4
RB677
臺北區高中
臺北區高中
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臺北區高中 109 學年度第二學期指定科目第二次
學年度第二學期指定科目第二次
學年度第二學期指定科目第二次
學年度第二學期指定科目第二次
模擬考數學
模擬考數學
模擬考數學
模擬考數學乙
乙
乙
乙
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：
1. (2) 2. (3) 3. (1) 4. (4)(5) 5. (1)(2)(4) 6. (2)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：
A. (23, 29) B. 3
；
1 C.
3
2
2
18
46
x
x
x
−
+
D. 26
非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題：
：
：
：一、
(1)
2
2
1
0
0
0
0
,
,
,
0
0
0
1
0
0
0
0
x
y
x
y
A
B
AB
BA
+
=
=
=
=
(2)
1
0
1
x
y
−
−
(3)
略
二、
(1)
3
4
0
x
y
−
=
(2)
10
OB
=
，
B
點坐標為
(8, 6)
或
( 8, 6)
− −
(3)
1
k
= − 或
5
3