1
臺北區高中
臺北區高中
臺北區高中
臺北區高中 110 學年度第二學期指定科目第
學年度第二學期指定科目第
學年度第二學期指定科目第
學年度第二學期指定科目第一
一
一
一次模擬考
次模擬考
次模擬考
次模擬考
數學甲
數學甲
數學甲
數學甲
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(共占
共占
共占
共占 76 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 18 分
分
分
分)
1. 試在下列選項中選出最符合此圖形的函數？
(1)
2sin 3
y
x
=
(2)
2 sin
3
x
y = −
(3)
3sin 2
y
x
= −
(4)
2 cos(3
)
2
y
x
π
=
+
(5)
2sin(
)
3
y
x
π
=
−
2.
x，y 為正實數，則下列哪一個不等式恆成立？
(1)
100
2
x
x
>
(2)
log
1
x
x
≥ (3) 10
log
0
x
x
+
≥
(4)
log
log
log
log
x
y
x
y
⋅
≥
+
(5)
2
2
2
2
x
y
x
y
⋅
≥
+
3.
已知數列
n
a 滿足下列關係：
2
1
2
1
3
3
n
n
n
a
a
a
+
+
=
+
，
1
n ≥ 且
1
2
0
a
a
<
<
，則下列選項何者
正確？
(1)
2
5
2
a
a
<
(2)
3
5
2
a
a
<
(3)
1
3
5
2
a
a
a
+
<
(4)
2
3
5
2
a
a
a
+
<
(5)
3
4
5
2
a
a
a
+
<
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 40 分
分
分
分)
4.
已知邊長
1
的正三角形 OPQ，與兩個二階方陣 M 與 N。而二階方陣 M 將
(
圖一
)
的
O
、P、Q 三點依序變換成
(
圖二
)
的 O、
1
P 、
1
Q ，再經二階方陣 N 變換成
(
圖三
)
的 O、
2
P 、
2
Q ，其中變換後的三角形
1
1
OPQ 和三角形
2
2
OP Q 二者都是正三角形。
試問下列選項哪些正確？
(1)
若 Q 點坐標
1
1
( ,
)
x y ，則
1
1
1
cos 60
sin 60
0
sin 60
cos 60
x
y
=
−
(2)
1 0
0
1
M
−
=
(3)
2
0
0
2
N
=
(4)
△
2
2
OP Q 再經過
1
3
0 1
變換後面積保持不變
(5)
選項
(4)
中的矩陣
1
3
0 1
所產生的線性變換是沿 x 軸方向推移 y 坐標的
3
倍
5.
快篩是了解新冠肺炎是否感染的快速方法，若某地區盛行率低於
5 %
的情況下，建議不適
合全體用快篩檢驗。現在假設 A 區的盛行率為
18
10000
，全體施行新冠肺炎快篩檢驗，篩
檢
1
萬人結果如下：
RA5114
x
y
0
2
2
−
3
π
−
3
π
2
3
π
π
2
患有新冠肺炎
未患新冠肺炎
合計
快篩陽性
14
100
114
快篩陰性
4
9882
9886
合計
18
9982
10000
由此結果得知，此區陽性預測值低、偽陽性率高，陰性預測值高、偽陰性率低。
名詞解釋：
盛行率：患有新冠肺炎的人口比例。
陽性預測值：快篩呈陽性反應的受檢者中，患有新冠肺炎的人所占的百分比。
偽陽性率：快篩呈陽性反應的受檢者中，未患新冠肺炎的人所占的百分比。
陰性預測值：快篩呈陰性反應的受檢者中，未患新冠肺炎的人所占的百分比。
偽陰性率：快篩呈陰性反應的受檢者中，患有新冠肺炎的人所占的百分比。
試問下列敘述何者正確？
(1)
由題意得知，此區不適合用快篩檢驗
(2)
此次篩檢結果的陽性預測值介於
12 %~13 %
(3)
此次篩檢結果的偽陽性率介於
87 %~88 %
(4)
如果巳知檢驗結果為陰性，那麼沒有患病的機率小於
99 %
(5)
如果已知沒有患病，卻驗出陽性的機率約為
1 %
6.
右圖為一長方體，
6
AB
BC
=
=
， AE
a
=
。若 P 在 AC 上，
:
1: 2
AP PC =
，且
PH
PF
⊥
。則下列敘述何者正確？
(1)
4
a =
(2)
此長方體體積為
144
(3)
由
PH
、
PF
、
PC
所決定的平行六面體體積為
192
(4)
△
CPH
面積 12 2
=
(5)
直線
PC
垂直平面
HPF
7.
已知函數
2
,
3
( )
3
,
3
x
a
x
f x
x
m
x
−
≠
=
−
=
當
時
當
時
，
2
,
7
( )
7
,
7
x
b
x
g x
x
n
x
−
+
≠ −
=
+
= −
當
時
當
時
，其中 , , ,
a b m n
R
∈
，
下列敘述何者正確？
(1)無論 a，m 為何值，
3
lim ( )
x
f x
m
→
=
(2)無論 b，n 為何值，
5
lim ( )
(5)
x
g x
g
→
=
(3)當
9
a =
、
49
b =
時，
2
2
lim ( ) lim ( ) 10
x
x
f x
g x
→
→
+
=
(4)當
9
a =
、
49
b =
時， lim ( ) lim ( ) 10
x
t
x
t
f x
g x
→
→
+
=
，其中
t
R
∈
(5)若
9
a =
、
49
b =
，且 f(x)與 g(x)皆為連續函數，則
20
m
n
+
=
8. 設三次函數
3
2
( )
6
9
7
f x
x
x
x
= −
+
−
+
，令 ( )
(
)
g x
f x a
b
=
+
−
，已知 g(x)對稱於原點，則下
列選項哪些是正確的？
(1)
(3)
( 3)
0
2
g
g
+
−
=
(2)
( , )
(2, 4)
a b =
(3) x 值愈來愈大，則 f(x)值愈來愈小
(4) f(2.01)計算到小數點後第二位(四捨五入)的近似值為 5.03
(5) f(x)在
2
x =
附近的局部特徵圖形近似於
3
1
y
x
=
−
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題
(
占
占
占
占
18
分
分
分
分
)
9. 在物理學的幾何光學中，我們用兩個參數 x、θ 來描述一道光束。今有射入的光束
1
1
x
θ
、 ，和經介質轉換射出的光束
2
2
x
θ
、
，滿足
2
1
2
1
1
0
1
x
x
d
θ
θ
=
，其中
1
0
1
d
為該介質
的光線轉換矩陣。已知：
2
1
x
π
= +
，
2
4
π
θ
=
，
4
d =
，則數對
1
1
( , )
x
θ
= 。
A
B
H
G
F
E
D
C
6
a
6
3
10.已知坐標平面的原點為 O 點，且圓
2
2
:
2
C x
y
+
=
和直線 :
L y
mx k
=
+
相交於 A、B 兩點，
其中 m、k 為實數。設 L 與 x 軸正向的夾角為 60 ，且
90
AOB
∠
=
，則實數 k= 。
11.直角坐標平面上，原點為 O，已知 (1, 2)
A
，令 a
OA
=
， p
OP
=
，且
(
)
p
a
p
⊥
−
，則
|
| |
|
p
a
p
×
−
的最大值為 。(化為最簡分數)
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題
(
占
占
占
占
24
分
分
分
分
)
12-14 題為題組
空間中有一個四面體，如右圖。已知底面 ABCD 為平行四邊形，
對角線的交點為 O 點，且 OE 垂直底面 ABCD，試求下列各小題。
12.若點 ( 1, 3, 0)
A − −
，向量
(2, 0,1)
AB =
，
(2,1, 2)
AD =
，試求 O 點
的坐標。(3 分)
13.承 12.，試求平行四邊形 ABCD 的面積。(4 分)
14.承 13.，設 OE 長度之值為平行四邊形 ABCD 面積之值的 2 倍，
且頂點 E 的 z 坐標大於 0，試求 E 的坐標。(5 分)
15-17 題為題組
三次多項式 f(x)與
2
( )
4
5
g x
x
x
=
−
−
的圖形如右所示，其中
f
(x)的最高次項係數為 1。假設 f(x)除以 g(x)所得餘式為
( )
r x
mx
k
=
+
，已知 ( 1)
(5)
2 (2)
r
r
f
−
+
=
且
( )
y
f x
=
圖形
與 y 軸交於 A 點。試回答下列問題：
15.如題圖所示，關於 k 值，下列何者正確？(單選題，3 分)
(1)
(0)
(0)
f
g
k
<
<
(2)
(0)
(0)
f
k
g
<
<
(3)
(0)
(0)
k
g
f
<
<
(4)
(0)
(0)
g
k
f
<
<
(5)
(0)
(0)
g
f
k
<
<
16.若
( )
y
r x
=
圖形與 y 軸交於 B 點，試求 AB 長度。(4 分)
17.當 f(x)在 A 點處的一次近似為
2
3
y
x
=
+
，試求：
(1) ( )
r x 。
(3 分) (2) f(x)在 (4, (4))
f
處的一次近似。(2 分)
4
RA5114
臺北區高中
臺北區高中
臺北區高中
臺北區高中 110 學年度第二學期指定科目第
學年度第二學期指定科目第
學年度第二學期指定科目第
學年度第二學期指定科目第一
一
一
一次
次
次
次
模擬考
模擬考
模擬考
模擬考數學甲
數學甲
數學甲
數學甲
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1. (4) 2. (2) 3. (4) 4. (3)(4)(5)or(1)(3)(4)(5) 5. (1)(2)(3)(5) 6. (1)(2)(3)
7. (2)(3)(4)(5) 8. (1)(4)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：9. (1, )
4
π
10.
2
± 11.
5
2
混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題：
：
：
：12.
5 3
(1,
, )
2 2
−
13. 3 14.
13 11
( 1,
,
)
2
2
−
−
15. (3) 16. 10 17.(1)
( )
7
r x
x
= − −
(2)
2
29
y
x
=
−