1
臺北區高中 107 學年度第二學期指定科目第一次模擬考
數學甲
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題：
：
：
：(18 分
分
分
分)
1. 設 0
θ
π
<
<
，若
cos
sin
24
15
sin
cos
7
20
θ
θ
θ
θ
−
−
=
，關於
θ
值，請選出正確的選項。
(1)
3
2
π
π
θ
<
<
(2)
2
2
3
π
π
θ
<
<
(3)
2
3
3
4
π
π
θ
<
<
(4)
3
5
4
6
π
π
θ
<
<
(5)
5
6
π
θ
π
<
<
2. 關於方程式 5 3 sin
5cos
x
x
x
+
=
的實根個數，請選出正確的選項。
(1) 9 (2) 8 (3) 7 (4) 6 (5) 5
3. 設 a 和 b 是兩個相異的非零向量，已知
0
a b
⋅
≠
，請問下列選項中哪一個條件會使得「對於任
意的實數 t，|
| |
|
a
t b
a
b
−
≥
−
恆成立」？
(1) |
| |
|
a
b
=
(2)
/ /
a
b
(3) |
| |
|
a
b
a
b
+
=
−
(4) (
)
(
)
a
b
a
b
+
⊥
−
(5)
(
)
b
a
b
⊥
−
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題：
：
：
：(40 分
分
分
分)
4. 如圖(一)，梯形 ABCD 中，已知
/ /
AB
CD ，
90
BAD
∠
=
，且
1
2
AB
AD
CD
=
=
。如圖(二)，將
△ABD 沿 BD 折起，使得平面 A BD
′
垂直平面 BCD。設 O 為 BD 的中點，G 為 A D
′
的中點，
M 為 CD 的中點，點 H 在 A C
′
上，且滿足
2
A H
HC
′
=
。請選出正確的選項。
(1) A O
′
垂直平面 BCD (2) OM 垂直平面 A BD
′
(3) OM 平行平面 BGH
(4) DC 平行平面 BGH (5)可在 BC 上找到一點 E，使得 DE 平行平面 BGH
5. 設 x，y 為實數，關於下列選項中的敘述，請選出正確的選項。
(1)若函數
(
2)
y
f x
=
+
的圖形過點 ( 1,3)
−
，則函數
( )
y
f x
=
的圖形關於 y 軸對稱的圖形一定過
點 ( 1, 3)
−
(2)在同一坐標系中，兩函數
(
2)
y
f x
=
−
與
(
2)
y
f
x
=
− +
的圖形對稱於直線
2
x =
(3)滿足條件 (
2)
(2
)
4
f x
f
x
+
+
−
=
的函數
( )
y
f x
=
的圖形對稱於點 (2, 2)
(4)若
2
( )
3
2
f x
x
x
=
−
+
，則方程式 ( ( )) 0
f f x
=
有四個相異的實根
(5)若方程式 ( ( ))
f f x
x
=
有實根，則方程式 ( )
f x
x
=
也有實根
6. 阿忠身上有 1 枚硬幣，但不知其真偽，經過捷運站時阿忠想將此枚硬幣投入悠遊卡加值機加值
以減輕口袋重量，假設每次加值成功與否不互相影響，且加值失敗則退還原硬幣。若此硬幣是
偽幣的機率為
1
8
，真幣的機率為
7
8
；而偽幣投入加值機後加值成功的機率為
1
10
，真幣投入加值
RA5105
A
B
C
D
圖(一)
圖(二)
A′
B
H
G
C
D
M
O
2
機後加值成功的機率為
9
10
，請選出正確的選項。
(1) 阿忠投幣 1 次就加值成功的機率為 0.8 (2) 阿忠投幣 2 次才加值成功的機率為 0.16
(3) 阿忠需投幣 3 次(含)以上才能將此硬幣加值成功的機率為 0.04
(4) 若阿忠投幣 1 次就加值成功，則此硬幣是真幣的機率大於 0.95
(5) 若阿忠投幣 2 次都加值失敗，則此硬幣是偽幣的機率大於 0.95
7. 在空間中，設四個相異的非零向量 v ， a ， b ， c ，且任三個向量皆不共平面，請選出正確
的選項。
(1) a
b
×
與 a
c
×
必不相等
(2)
2
2
2
2
2
2
|
(
) |
|
(
) |
|
|
|
| |
|
(
)
a
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a b
×
+
=
×
−
=
×
=
−
⋅
(3) v 在 c 上的正射影長為
|
|
|
|
v c
c
⋅
(4) 若 a ， b ， c 兩兩垂直，則
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
v a
v b
v c
v
a
b
c
⋅
⋅
⋅
=
+
+
(5) 若
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
v a
v b
v c
v
a
b
c
⋅
⋅
⋅
=
+
+
，則 a ， b ， c 兩兩垂直
8. 空間坐標中，在 xy 平面上有一圓 C，已知其圓心為 (0, 0, 0)
O
且半徑為 1，設直線 L 為過圓 C 上
一點 (cos ,sin , 0)
P
θ
θ
的切線，其中 0
2
π
θ
<
<
。另有一平面 : 6
3
2
0
E
x
y
z
+
+
=
，請選出正確的選項
。(1) 切線 L 的方程式為 (cos )
(sin )
1
x
y
θ
θ
+
=
(2) 切線 L 與 x、y 軸所圍成的三角形面積最小值是 1
(3) 當 tan
2
θ
=
時，切線 L 與平面 E 平行
(4) 當切線 L 與平面 E 平行時，切線 L 與平面 E 的距離為
3 5
7
(5) 必存在切線 L 與平面 E 垂直
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：(18 分
分
分
分)
A. 已知實數 a，b 且 3 1
×
階矩陣 E 滿足
6
1 0
0
1 1
0
1 2
a
E
b
=
⋅
+
與
1 1 1
0
0 1 2
0
E
⋅
=
，
則數對 ( , )
a b = 。
B. 設 z 為複數，若 z 為方程式
5
4
1 0
x
x
+
+ =
的根，則滿足| | 1
z = 的所有根之和為
。
3
C. 如右圖，在五邊形 ABCDE 中，已知
8
AE
ED
=
=
，
9
BC
CD
=
=
，
90
A
B
∠
= ∠
=
，則△ABD 之外接圓半徑為 。
(化為最簡根式)
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(24 分
分
分
分)
一、數字狂利用電腦算出
1000
3
的每一位數字如下(共 7 列數字，前 6 列的每一列皆有 70 個數字)。
試回答下列問題：
(1) 請利用以上結果證明 0.477
log 3
0.478
<
<
。(4 分)
(2) 某日數字狂想要測試新電腦的性能，要電腦算出 3 的 100000 次方並列印在 A4 紙上，若
一張 A4 紙的兩面恰可印 1000 個數字，那數字狂最少要用幾張 A4 紙才夠列印 3 的 100000
次方的每一位數字？(6 分)
二、某夜市的遊戲攤位，其遊戲規則如下：遊戲箱子內有 1 號、2 號、
3 號、⋯⋯、16 號球各一顆。假設每球被抽到的機會均等，由箱中
任抽兩球，若兩球的號碼在右邊的看板上同行或同列，則可以得到
球號相對應的金額獎金，否則沒有獎金，例如：若抽到在同一行的
2 號與 6 號球，則可得 2 6
8
+
=
元，若抽中 2 號與 5 號球，則沒有
獎金。小樺現參加該遊戲且只玩一次，試問：
(1) 小樺得 12 元的機率為何？(4 分)
(2) 小樺得 0 元的機率為何？(4 分)
(3) 小樺所得獎金的期望值為何？(6 分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
B
C
D
E
8
9
8
9
4
RA5105 臺北區高中 107 學年度第二學期指定科目第一次模擬考數學甲
選擇題：1. (2) 2. (3) 3. (5) 4. (1)(2) 5. (1)(2)(3)(4) 6. (1)(4) 7. (1)(2)(3)(4) 8. (2)(4)
選填題：A. (5, 3)
−
B.
1
− C. 6 2
非選擇題：一、(1) 略 (2) 48 張
二、(1)
1
40
(2)
3
5
(3)
34
5
元