1
北北基 113 學年度學科能力測驗聯合模擬考試數 B(113-E4)
第壹部分：選擇題(占 85 分)
一、單選題(占 35 分)
1. 設
( )
f x
為次數不低於 2 之多項式，若以
1
x
− 除
( )
f x
，則餘式為 a ，商式為
( )
Q x
，再以
2
x
− 除
( )
Q x
，餘式為 3，若
(1)
5 (2)
f
f
=
，則 a 值為下列哪一個選項？
(1)
5
4
−
(2) 5
− (3)
15
4
−
(4) 15
− (5)
15
2. 在坐標平面上，若直線
L
的方程式為
1
y
mx
=
+
，其中 m 為實數，則直線
L
與下列哪一個
圖形必相交？(1) x 軸 (2)
2
2
(
3)
(
1)
1
x
y
−
+
−
= (3)
y
x
=
(4)
2
2
1
x
y
+
= (5)
2
2
(
1)
1
x
y
−
+
=
3. 設
1
3
( ,
)
2
2
a
=
，若向量
b
與
a
的夾角為120
° ，且|
| 1
b
=
，則
b
可能為下列哪一個
選項？(1)
1
3
(
,
)
2
2
−
(2)
1
3
( ,
)
2
2
−
(3)
1
3
(
,
)
2
2
−
−
(4)
3
1
(
,
)
2
2
−
(5)
3 1
(
, )
2
2
−
4. 袋中有 12 個球，其中有 3 個白球，9 個黑球，若每球被取出的機會均等，今自袋中任取
3 個球，則取出白球個數的期望值為何？(1)
0.25
個 (2)
0.3
個 (3)
0.5
個
(4)
0.6
個 (5)
0.75
個
5. 在半徑為 10 公分的地球儀上有相異兩點
A
、
B
都在北緯 45
°上，若
A
、
B
兩點的球面距
離為
10
3
π
，且
A
點在東經 20
°上，則
B
點的位置可能在下列哪一個選項？
(1)東經 70
° (2)西經 70° (3)西經110° (4)東經100° (5)西經 20°
6. 同學會結束後，四對夫妻排成一列拍照，試問男女間隔且夫妻不相鄰的排法有幾種？
(1)
48
種 (2)
144
種 (3)
288
種 (4)
384
種 (5)
2880
種
7. 國內研究學者吳逸民教授等人(Wu et al，2004)分析 1999 年 921 集集地震的災害紀錄以及
中央氣象署的強地動資料，獲得地震震度 F 與最大地表速度 PGV 的關係式為
(
)
2.14 log
1.89
F
PGV
=
×
+
， PGV 的單位為 cm/sec。113 年 4 月 3 日上午 7 點 58 分全臺
發生有感地震，臺灣東部外海發生芮氏規模 7.2 的地震，地震深度為 22.5 公里，最大震
度 6 級在花蓮縣，而臺北市震度是 5 級，全臺劇烈搖晃。請問花蓮縣的最大地表速度大
約是臺北市的最大地表速度的幾倍？(選出最接近的數值) (1)
1.2
倍 (2)
2
倍
(3)
3
倍 (4)
4
倍 (5)
5
倍
二、多選題(占 25 分)
8. 有 40 位同學參加數學與英文能力檢測(總分皆為 100 分)，考試後主辦單位將每人成績以
1
1
0.7
30
y
x
=
+
和
2
2
0.75
25
y
x
=
+
調整後公布，其中
1
x 、
2
x 分別為每人數學、英文的原始
成績，
1
y 、
2
y 分別為每人數學、英文調整後的成績。已知調整後數學與英文成績的算術
平均數皆為 60 分，且調整後的數學、英文標準差分別為 14 分、15 分。請選出正確的選
項。 (1)每位同學數學的原始成績皆會低於其調整後的成績 (2)此次檢測，數學原始成
績的算術平均數比英文原始成績的算術平均數低 (3)數學原始成績的標準差比英文原始
成績的標準差低 (4)若數學原始成績與英文原始成績的相關係數為 0.42，則調整後的數
學與英文成績的相關係數應低於 0.42 (5)若
A
同學調整後的數學成績比調整後的英文成
績高，則
A
同學的數學原始成績必高於英文原始成績
9. 小明一個人玩跳格子的遊戲，格子如右圖所示，他決定投擲一枚
均勻硬幣，丟到正面向右跳 1 格，丟到反面向左跳 1 格，但若選
到的方向會跳出格子以外，就停在原格子中。假設他的初始位置在
B
，令投擲 n 次硬幣
後，小明停留在
A
、
B
、 C 的機率分別為
n
a 、
n
b 、
n
c ，請選出正確的選項。
A
B
C
RB430
2
(1)
1
1
3
b
=
(2)
2
1
2
b
=
(3)
4
4
a
c
= (4)
1
1
n
n
n
b
a
c
−
−
=
+
(5)
(
)
1
1
1
2
n
n
b
b
+
=
−
10.設
(
)
,
P a
b
π
為兩函數
log
y
x
=
和
sin
y
x
=
在區間
[
]
0, 2
π
內之交點，其中
π
為圓周率，
a 、 b 為實數，請選出正確的選項。 (1) 0
3
a
b
< + < (2)
(
)
,
b a
π
為函數
1
(
)
10
x
y
=
圖形上
一點 (3)
1
(
,
)
b
a
π
−
為函數
log
y
x
=
圖形上一點 (4)
(
)
, b
π
為函數
sin
y
x
=
以原點為中心
水平伸縮 a 倍後圖形上一點 (5)
(
)
,
a
b
π
− 為函數
sin
y
x
=
向左平移
π
單位後圖形上一點
11.擲筊是利用兩個半月形的木頭筊杯，透過將筊杯擲出，根據落地後兩個筊杯的正反方
向，預測事情。根據筊杯的正反可分成以下三種狀況：第一種為一正一反，又名「聖
杯」
；第二種為兩正面，又名「笑杯」
；第三種為兩反面，又名「無杯」
。某人持木頭筊
杯，若擲出聖杯表「成功」
，無杯表「失敗」就不再擲，若得笑杯，則再擲第二次，直到
「成功」或「失敗」才停止。若每一個筊杯正、反面出現機會皆相等，且每次擲筊情況
不會互相影響，請選出正確的選項。 (1)擲筊情形共有「聖杯」、「笑杯」、「無杯」三種
情況，所以第一次就擲出「聖杯」的機率為
1
3
(2)第五次才擲出「聖杯」的機率為
1
512
(3)三次以內擲出「聖杯」的機率為
7
8
(4)在五次以內擲出「聖杯」的條件下，三次以內
就擲出「聖杯」的機率為
16
341
(5)若長年擲筊使得木頭筊杯受損，造成兩個筊杯正、反
面出現機率變成每過一年其中一個的正面出現機率增加 0.01、另一個的反面機率增加
0.01，則 30 年後擲筊一次就擲出「聖杯」的機率會超過六成
12.已知空間中有相異兩點
(
)
1,1, 2
A
−
、
(
)
3, 2, 4
B
−
，請選出正確的選項。(1)
A
點對 x 軸的投
影點為
(
)
1, 0, 0
−
(2)
A
點到
y
軸的距離小於 2 (3)
A
點對
xy
平面的對稱點為
(
)
1,1, 2
−
−
(4)
A
點對原點的對稱點為
(
)
1, 1, 2
− − (5)若
P
點在 x 軸上，使得
PA PB
+
有最小值，此時
P
點坐標為
1
, 0, 0
3
三、選填題(占 25 分)
13.已知三次函數
( )
3
2
y
f x
ax
bx
cx
d
=
=
+
+
+ 在
1
x
= − 附近的一次近似函數為
2
y
x
= −
，
其大域特徵和
3
2
y
x
=
接近，又
( )
1
7
f
= ，試求序組
(
)
, , ,
a b c d
= 。
14.有一邊長為 2 的菱形，其中一條對角線 AC 的長亦為 2，
沿此對角線對摺形成一個四面體 PABC ，如右圖所示，
已知四面體體積公式為「
1
3
×
×
底面積 高
」，
則此四面體的最大體積為 。
3
15.坐標平面上一圓 C 與 x 軸相切於
( )
3, 0 ，且在
0
y
≤
時與直線
: 3
4
4
0
L
x
y
−
− =
也相切，
則此圓的方程式為
2
2
9
0
x
y
dx ey
+
+
+
+ = ，求數對
( )
,
d e
= 。
16.形如 2
1
n
− 的數( n 為正整數)被稱為梅森數，命名來自西元十七世紀的法國數學家馬蘭．
梅森，如果梅森數是質數就稱為梅森質數。古希臘數學家歐幾里德(Euclid)約在西元前三
百年證明「質數有無限多個」，但至今數學家仍不知梅森質數是否也有無限多個。1952 年
美國利用電子計算機改革了梅森質數的尋找過程，發現了
521
2
1
− 是梅森質數，請計算出
521
2
1
− 是 位數。
17.已知
1
2
A
c
d
=
，若矩陣
A
存在乘法反方陣
1
A
−
，且
1
A
A
−
= ，則 c d
+ = 。
第貳部分：混合題或非選擇題（占15分）
18-20 題為題組
【某報訊】藍牙耳機掉一隻怎麼找？東大生用數學找回
根據日媒《maidonanews》報導，一名東京大學的學生近日走在校園時，不小心掉了其
中一隻耳機，但他隨即想到「藍牙耳機發出的訊號是圓形的」
，可以利用高中數學所學的知
識推算出掉耳機的地方。有天曉華的手機掉了，也想如法炮製東大生在社群平臺分享找尋藍
牙耳機的方法，他利用藍牙連線系統做了以下嘗試。
18.曉華朝一直線前進，試圖尋找藍牙耳機發出的訊號，在通過此直線上的
A
點之後，他開
始接收到訊號(稱收到訊號的點為接點)，而在通過此直線上的
B
點之後開始接收不到訊號
(形成斷線)，則他利用高中數學所學的知識會知道下列何者？(單選題，4 分)
(1)藍牙耳機一定在
A
點 (2)藍牙耳機一定在
B
點 (3)藍牙耳機一定在
AB
中點
(4)藍牙耳機一定在
AB
的中垂線上 (5)無法確定藍牙耳機在哪一個位置
19.承 18.題，曉華分別找到三個藍牙在接收與斷線間的接點
A
、
B
、 C ，連成一個三角形
ABC ，他利用餘弦定理算出 cos A 的值為負數，根據高中數學所學的知識知道下列哪些正
確？(多選題，5 分)
(1)藍牙耳機在三角形 ABC 的內部 (2)藍牙耳機在三角形 ABC 的外部
(3)藍牙耳機在三角形 ABC 的邊上 (4)藍牙耳機一定在直線 BC 的外側(與
A
點異側)
(5)藍牙耳機一定在直線 BC 的內側(與
A
點同側)
20.承 19.題，曉華將三角形 ABC 的三邊長度計算出來，分別是 3 公尺、5 公尺、7 公尺，他
利用高中數學所學的知識找到藍牙耳機所在的位置 O 點，請算出 OA OB OC
+
+
為多少公
尺？
參考數值：
2
1.414, 3
1.732, 5
2.236, 6
2.449, 10
3.162
≈
≈
≈
≈
≈
。
指對數值：
10
10
10
10
log 2
0.3010, log 3
0.4771, log 5
0.6990, log 7
0.8451
≈
≈
≈
≈
。
4
RB430 北北基 113 學年度學科能力測驗聯合模擬考試數 B(113-E4)
參考答案
選擇題：1. (3) 2. (4) 3. (2) 4. (5) 5. (2) 6. (2) 7. (3) 8. (2) 9. (2)(3)(5)
10. (1)(3)(5) 11. (2)(5) 12. (1)(3)(4)(5)
選填題：13.
(2, 4, 3, 2)
−
14. 1 15.
( 6,10)
−
16. 157 17.
1
−
混合題或非選擇題：18. (4)
19. (2)(4) 20. 7 3