1
北北基高級中等學校
113 學年度學測模擬考數學(113-E2)
第壹部分：選擇題
(占 85 分)
一、單選題
(占 30 分)
1. 聲音大小 d(單位：分貝)取決於聲波通過介質時，所產生的強度 I(單位：
2
W/m
)。已知當
測得聲音強度為
I 時，此時分貝
12
10log
10
I
d
−
=
，若有一臺噴射機起飛時測得的聲音大
小為
100 分貝，則該噴射機起飛時所產生的聲音強度為多少
2
W/m
？
(1) 0.001 (2) 0.01 (3) 0.1 (4) 1 (5) 10
2. 已知多項式
3
2
4
( ) (
3
1)
f x
mx
x
nx
=
−
+
−
除以
( 1)
x −
之餘式為
2，其中 m、n 皆為實數，若將
此多項式展開後，其奇次項係數和為
a，偶次項係數和為 b，則 a b
+ ＝？
(1)
1
−
(2)
2
−
(3) 1 (4) 2 (5) 3
3. 臺北市某區的所有 Ubike 自行車租賃站，依據過去的統計紀錄，平均會在一天當中的 14
時
20 分至 14 時 35 分，累積租借次數與時間之相關係數會趨近於 0.99，部分紀錄如下表
(24 小時制)。
依據上述資訊推測，試問某日在
14 時 33 分時，累積租借次數應較接近下列哪一個選項
？
(1) 2530 次 (2) 2550 次 (3) 2570 次 (4) 2590 次 (5) 2620 次
4. 坐標平面上有三個相異的點
(3,0)
A
，
( 3,0)
B −
，
(3cos ,3sin )
C
θ
θ
，其中
0
2
θ
π
≤ ≤
，則滿
足△
ABC 的面積為 7 的 θ 有幾個？ (1) 0 個 (2) 1 個 (3) 2 個 (4) 3 個 (5) 4 個
5. 已知函數
2
2
3
4 3
4
( )
2 1
x
x
f x
x
x
+
+
=
+
+
，且
0
x > ，則下列選項中哪一個函數值為最大？
(1)
1
( )
2
f
(2)
2
( )
3
f
(3)
(1)
f
(4)
3
( )
2
f
(5)
(2)
f
6. 若將一顆公正的六面骰子投擲 5 回，假設
i
a 為第 i 回出現的點數，其中 i=1, 2, 3, 4, 5，
試問
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
+ + + +
a a a a a
為
3 的倍數之機率為何？(1)0 (2)
1
3
(3)
5
9
(4)
10
27
(5)
25
81
二、多選題
(占 30 分)
7. 設 m 為實數，坐標平面上三條相異的直線
1
: 2
5
L
x y
+ =
,
2
:
2
L x y
− = −
,
3
: 2
8
L
x my
+
= ，
將平面分割成
6 個區域，則 m 值可能為下列何者？ (1)
2
−
(2)
1
−
(3)0 (4)1 (5)2
8. 已知在△ABC 中，若△ABC 之內切圓分別切三邊 BC 、CA 、
AB
於
1
A 、
1
B 、
1
C 三點，其
中
1 1 1
1
B AC
θ
∠
= ，如圖
(一)，而圖(一)中△
1 1 1
A B C 之內切圓分別切三邊
1 1
B C 、
1 1
C A 、
1 1
A B
於
2
A 、
2
B 、
2
C 三點，其中
2 2 2
2
B A C
θ
∠
= ，如圖
(二)，依此規則連續下去，可得一數列
n
θ
，其中
n 為正整數，則下列選項哪些正確？
RA299
2
(1)
1
2
2
180
θ
θ
+
=
(2)
n
θ
為一個等差數列
(3)數列
n
θ
的遞迴式為
1
1
1
90
,
2
2
n
n
n
θ θ
θ
θ
−
=
=
−
≥
其中
(4) 對於所有的正整數 n，
1
sin
cos
2
n
n
θ
θ
+
=
恆成立
(5) 當
1
60
θ
=
，則
n
θ
既為等差數列也為等比數列
9. 某校調查了甲、乙兩班之數學(單位：分)與英文(單位：級分)的段考成績，計算甲、乙兩
班數學成績的算術平均數分別為
=54
µ
甲
分、
=65
µ
乙
分，標準差分別為
=12
σ
甲
分、
=15
σ
乙
分。令甲、乙兩班英文成績的算術平均數分別為
µ
′
甲
、
µ
′
乙
。若甲、乙兩班其英文成績
(y)
對數學成績
(x)的最適直線(迴歸直線)分別為
:
0.05
4
L y
x
=
+
甲
、
:
0.08 1
L y
x
=
−
乙
，相關係
數分別為
0.6、0.3。今甲班中有一位大雄同學，本次段考數學成績為 52 分、英文成績為
6 級分，試選出正確的選項。 (1) 點 ( ,
)
µ µ
′
甲
甲
必在最適直線
(迴歸直線)
L
甲
上
(2)
µ
µ
′
′
<
甲
乙
(3) 甲班英文成績的標準差小於乙班英文的標準差 (4) 就英文成績而
言，甲班的全距小於乙班的全距
(5) 大雄同學在本次段考中，其英文的表現比數學的表
現好
10.坐標平面上有一以原點 O(0, 0)為圓心且半徑為 r 的圓 C，交直線 L：x＋y－1＝0 於 P、Q
兩點。已知圓
C 上有一點 R 使得△PQR 為正三角形。請選出正確的選項。
(1) R 點會在
PQ
的中垂線上
(2) 若 R 點的極坐標為[r, θ]時，則 θ＝225°
(3) 圓 C 的方程式為
2
2
4
x
y
+
=
(4) 直線 x＋y－2＝0 為圓 C 在 R 點的切線
(5) 圓 C 上恰有三個點與直線 L 的距離等於
2
2
11.某大學部有一間實驗室，學生為了要研究掃地機器人路徑規
劃之成效，將掃地機器人設定為每分鐘直線行走
1 公尺，接
著將地面坐標化
(1 公尺為 1 單位)，並將其放置在坐標平面
上，由原點
O(0, 0)出發。首先沿著 x 軸正向(即正東)的方
向行走
1 分鐘到達點(1, 0)，然後立即轉向 y 軸正向(即正北)
的方向，再行走
2 分鐘到達點(1, 2)，然後，再轉向正西方向
行走
4 分鐘到達點( 3
−
,2)，再轉向正南方向行走 8 分鐘到達點
( 3, 6)
− −
，而後依照正東
→正北→正西→正南的方向直線移動，且每次行走的時間是前一次的
2 倍，等速且不考
慮轉彎時間，依此規則一直行走下去，如右圖所示。假設早上
8 點開始實驗，由原點
O(0, 0)出發，關於下列選項中有哪些是正確的？
(1) 早上 8 點 5 分時，掃地機器人的位置在點(
1
−
,2) (2) 早上 8 點 31 分時，掃地機器人
共行走了
31 公尺 (3) 早上 9 點 5 分時，掃地機器人的位置在 x 軸的下方 (4) 已知掃地
機器人共行走了
511 公尺，則它共轉向 6 次 (5) 承(4)，此時它的位置在點(205, 102)
12.已知有一實係數多項式
3
2
( )
f x
x ax bx
=
+
+
，請依據各條件選出正確的選項。
(1) 若 b≠0，則
( )
y f x
=
的圖形對稱於原點
(0, 0) (2) 若
4
a > 且 b＝4，則
( )
y f x
=
的圖
形與
x 軸有三個交點 (3)若
4
a < 且 b＝4，則
( )
y f x
=
的圖形與
x 軸只有一個交點
(4) 若考慮多項式
( )
( ) 15
g x
f x
=
−
且其圖形對稱於點
(3, 0)，則
( )
y g x
=
在
x＝3 附近的一次
近似為
4 12
y
x
= − +
(5) 承(4)的條件，則滿足
( ) 0
g x ≥
之最小的整數解為
3
三、選填題
(占 25 分)
13.若實數 a 滿足
1 |
1| 2
a
< − ≤
且
|
| 3|
7 |
x a
x
− =
−
，則實數
x 的最大值為 。
3
14.這次過年的時候，小睿的爸爸準備了「懷舊童玩戳洞樂」遊戲，
讓全家都能一起同樂，此遊戲為一個
5×5 格大小的裝置，共計
25 個洞可戳，一次只能戳一個洞，且每個洞被戳中的機會相同，
其中只有一個洞是獎金
1000 元，有八個洞是獎金 100 元，其餘
都是
”銘謝惠顧”，没有獎金。目前已經有 5 個洞被戳了，小睿
的爸爸只保證最大獎
1000 元還沒有被戳中。
試問小睿玩這一次遊戲所獲得獎金期望值之最小值為
元。
15.若有一個三角形 ABC，其三邊長
3,
4,
13
AB
AC
BC
=
=
=
，設此△
ABC 的內部有一點
P 與三頂點等距，則此距離為 。(化為最簡分數、最簡根式)
16.如右圖為阿綺家中大門的密碼鎖，其按鍵的第一行數字為 1、4、7，第二
行為
2、5、8、0，第三行為 3、6、9，設置密碼方式為：「由 0～9 的數
字中，任選
6 個並依序鍵入」。今阿綺為了方便記憶自己的密碼，以她
的生日民國
96 年 10 月 27 日的六個數字 9、6、1、0、2、7 重新編排成
密碼，但為了要使密碼的保密度提高，規定位於按鍵同一行的數字不可
接連出現，例如：「
107629」為一組可用的密碼，但「172609」則不符
合規定，試問阿綺共有
種密碼設置法。
17.設
( )
f x
與
( )
g x
皆為實係數二次多項式且首項係數都是
1，已知
2
( ( ))
f x 除以
( )
g x
的餘式為
2 1
x + ，而
2
( ( ))
g x 除以
( )
f x
的餘式為
1
x + ，則
( )
( )
f x g x
+
=
。
第貳部分：混合題或非選擇題
(占 15 分)
18-20 題為題組
設實係數二次方程式
2
0
x ax b
−
+ =
有兩實數解
α 與 β，試回答下列問題。
18.若 α 與 β 分別滿足 1
0
α
− ≤ ≤ 、
1
2
β
≤ ≤
，則下列選項何者正確？
(單選題，5 分)
(1)
2
( )
2
a
b
=
(2)
2
( )
2
a
b
<
(3)
2
( )
2
a
b
>
(4)
2
( )
2
a
b
≤
(5)
2
( )
2
a
b
≥
19.承第 18 題，則 a 與 b 滿足下列哪一個選項的二元一次不等式？(多選題，5 分)
(1)
1
a b
+ ≥ −
(2)
0
b ≤ (3)
1
a b
− ≥
(4) 4 2
0
a b
+
+ ≤
(5) 4 2
0
a b
−
+ ≥
20.承第 18、19 題，若
2
2
a b
+
的最小值為
k，則序組(a, b, k)＝？(非選擇題，5 分)
參考數值：
2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.449, 3.142
π
≈
≈
≈
≈
≈
。
指對數值：
10
10
10
10
log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 5 0.6990, log 7 0.8451
≈
≈
≈
≈
。
4
RA299
北北基高級中等學校
113 學年度學測模擬考數學(113-E2)
參考答案
選擇題：
1. (2) 2. (4) 3. (2) 4. (5) 5. (1) 6. (2) 7. (1)(4)(5) 8. (1)(3)(4)(5)
9. (1)(3)或(1)(3)(5) 10. (1)(2)(5)或(1)(5) 11. (1)(2) 12. (2)(4)
選填題：
13. 11 14. 65 15.
39
3
16. 240 17.
2
2
3
2
x
x
−
−
混合題：
18.
(3)或(5)
19. (1)(2)(3)(5) 20.
1 1 1
,
,
2 2 2
−