103 學年度普通型高級中等學校數學及自然學科能力競賽
數學科能力競賽決賽筆試試題參考解答
【筆試一】第一題
設
, ,
a b c
都是正數，且
3
a
b
c
。試證：
2
2 2
(3 2 )(3 2 )(3 2 )
a
b
c
a b c
。
【解】
不失一般性，不妨假設
a
b
c
。
(1) 如果
a
b
c
，由
3
3
2
2
a
b
c
c
c
。又
3
3
3
1
,
2
a
b
c
a
a
同理，
3
2
b
。因此，
2
2 2
(3 2 )(3 2 )(3 2 )
0
a
b
c
a b c
。
(2) 如果
a
b
c
，令
3
2
2
a
b
c
s
，則
2
2
2
2
2
2
( 3
2 ) ( 3
2 ) ( 3
2 )
8 (
) (
) (
)
a
b
c
a b c
s
a
s
b
s
c
a b c
。
我們可考慮三邊長為
, ,
a b c
的一個三角形，由三角形面積公式知：
2
2
(
)(
)(
)
(
)
4
abc
s s
a s
b s
c
R
，
其中
為三角形面積，
R
為三角形外接圓的半徑。因此，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( 3
2 ) ( 3
2 ) ( 3
2 )
8 (
) (
) (
)
1
8
(
)
2 4
1
3
3
a
b
c
a b c
s
a
s
b
s
c
a b c
s a b c
R
R
R
利用正弦定理及合分比性質，得
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
a
b
c
a b c
R
A
B
C
A
B
C
。
又函數
( )
sin
f x
x
在 [0, ]
是一凹函數，故
s i n
s i n
s i n
3
s i n
s i n
3
3
3
2
A
B
C
A
B
C
，
即
3 3
sin
sin
sin
2
A
B
C
。所以，
2
2
1
2
(
)
s i n
s i n
s i n3 3
3
3
a
b
c
R
a
b
c
R
A
B
C
， 得證。
【筆試一】第二題
設 ABCD 是一圓內接四邊形，點 E 與點 F 分別在 AB 與
CD
上，且滿足
FD
CF
EB
AE
。
試證：若點 P 在 EF 上且滿足
CD
AB
PF
PE
，
則 APD
與 BPC
的面積比和 E、F 在所屬線段上的位置無關。
P
F
B
E
A
C
D
證：
P
F
B
E
A
C
D
B
A
S
P
F
E
D
C
設直線 AD 與 BC 不平行且交點為 S。因為 ABCD 是圓內接四邊形，所以，
SCD
SAB
。由此知
△ASB 與△CSD 相似。因為
FD
CF
EB
AE
，所以，可得
CD
CF
AB
AE
，
CS
AS
CD
AB
CF
AE
。由此知
△ASE 與△CSF 相似。於是，
可得
CSF
DSE
，
PF
PE
CD
AB
SC
SA
SF
SE
。
根據角平分線的性質，可知
FSP
ESP
。
再由
CSF
DSE
可得
CSE
DSF
，進一步知
DSP
CSP
，亦即：直線 SP 平
分 ASB
。於是，點 P 至直線 AD 與直線 BC 的距離相等，由此可知：三角形
△APD
與
△BPC 的面積之比值等於底邊長之比值
BC
AD
，此值與點 E、F 在所屬線段上的位
置無關。
P
F
B
E
A
C
D
N
M
P
F
E
D
A
B
C
其次，設直線 AD 與 BC 平行，則圓內接四邊形 ABCD 是一等腰梯形，亦即：
CD
AB
。因為
FD
CF
EB
AE
，所以，
DF
BE
。令 M 與 N 分別表示 AB 與
CD
的
中點，則
NF
ME
。因為
DNM
AMN
，所以，點 E 與 F 至直線 MN 等距離，EF
的中點在
MN
上。因為點 P 在 EF 上且滿足
1
CD
AB
PF
PE
，所以，點 P 是 EF 的
中點，進一步知點 P 是
MN
的中點。三角形
△APD 與△BPC 的面積之比值等於底邊長
之比值
BC
AD
，此值與點 E、F 在所屬線段上的位置無關。
【筆試一】第三題
將 3466 表 示 成 n 個 正 整 數 的 四 次 方 之 和 ：
4
4
2
4
1
3466
n
a
a
a
， 其 中
1
2
1
n
a
a
a
。試問 n 的最小值為何？並對此最小值寫出所有對應的表示式。
【解】因為
)
16
mod
(
0
)
(
4
偶數
，
)
16
mod
(
1
)
(
4
奇數
，
10
16
216
3466
，
所以，
1
2
,
,
,
n
a a
a
中的奇數個數必是
10
16
k
的形式。於是，
10
n
。
若
10
n
，則
1
2
10
,
,
,
a a
a
都必須是奇數。對每個
1 , 2 ,
, 10
i
，令
16
1
4
i
i
a
b
。
因為
1
2
10
,
,
,
a a
a
都是不大於 7 的奇數，所以，
}
150
,
39
,
5
,
0
{
i
b
(1
10
i
)
而且
216
10
2
1
b
b
b
。因為方程式
216
150
39
5
z
y
x
只有一組非負整
數解
)
0
,
4
,
12
(
)
,
,
(
z
y
x
，但此組解沒有滿足
10
z
y
x
，所以不能提供本
題的答案。於是，
11
n
。
若
11
n
，則
1
2
11
,
,
,
a a
a
中恰有一個是不大於 6 的偶數而其餘十個都是不大
於 7 的奇數，設
11
a 是不大於 6 的偶數。令
16
1
4
i
i
a
b
(
1, 2,
,10)
i
，且
16
4
11
11
a
b
。
因為
1
2
10
,
,
,
a a
a
都是不大於 7 的奇數，所以，
}
150
,
39
,
5
,
0
{
i
b
(1
10
i
)
而
}
81
,
16
,
1
{
11
b
而且
216
11
10
2
1
b
b
b
b
。
(i) 當
1
11
b
時，因為方程式
1
216
150
39
5
z
y
x
共有三組非負整數解
)
0
,
0
,
43
(
)
,
,
(
z
y
x
、
)
0
,
5
,
4
(
與
)
1
,
0
,
13
(
，
但其中的第一組與第三組解沒有滿足
10
z
y
x
，所以，只有第二組解可
提供本題的一個答案：
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
3
3
3
3
2
1
3466
。
(ii) 當
16
11
b
時，因為方程式
16
216
150
39
5
z
y
x
共三組非負整數解
)
,
,
(
z
y
x
)
0
,
0
,
40
(
、
)
0
,
5
,
1
(
以及
)
1
,
0
,
10
(
，
但其中的第一組解與第三組解沒有滿足
10
z
y
x
，所以，只有第二組解可
提供本題另一個答案：
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
4
3
1
1
1
1
3466
。
(iii) 當
81
11
b
時，因為方程式
135
150
39
5
z
y
x
只有一組非負整數解
)
,
,
(
z
y
x
)
0
,
0
,
27
(
，但此解沒有滿足
10
z
y
x
，所以不能提供本題
的答案。
綜合以上的討論，n 的最小值為 11 ，對此最小值恰有兩種對應的表示式。