110 學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
第 4 區複賽物理科筆試試題及參考解
第
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說明：（1）請先核對答案卷上之編號和你的編號是否一致。
（2）本試題卷共四題，請依題號在答案卷上指定位置作答，試題
卷需隨答案卷繳回。
【第一題】
已知載流導線在磁場中所受磁力為
𝐹⃑
𝐼ℓ⃑ 𝐵⃑，其中 ℓ⃑ 的方向是指導線電流流動
方向。某單一線圈纏繞在正立方體柱
(長寬高均 )上，通以電流 I，線圈面與水平
面平行如圖。空間中有均勻磁場 B 與水平面平行，若此時方柱恰出現即將轉動但
不滑動的狀況。
(1) 試計算地面對方柱的正向力量值[5 分]與摩擦力量值[5 分]。
(2) 若線圈電流由上往下看時為逆時針，且將電流降低為原先的
3
1
，則正向力的作用
點至圖中方柱右下角
(三角形標示處)距離為何[5 分]？
(3) 移除載流導線，假設電流均勻分佈流經方柱之頂面如下圖。已知方柱重量為 W，
試計算電流至少要到達多大，才可以使方柱翻轉
(以 、B、W 表達)[5 分]。
B
B
B
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【第一題參考解】
(1)
此圖的電流若為順時針，則會以方柱左下角為支點翻轉，反之逆時針電流則會以右
下角為支點翻轉。兩者計算結果相同。下圖以逆時針電流為例
封閉線圈在均勻磁場中磁力總和為零
(效果類似力偶)，故分析
0
F
時，僅需考
慮正向力、重力、摩擦力。
0
0
s
x
f
F
：
W
N
F
y
0：
(方柱重)
而封閉線圈在均勻磁場中提供力矩，以方柱右下角為支點：
0
W
F
B
2
sin
W
IBA
2
90
sin
2
W
IB
IB
W
2
(恰轉動表示正向力恰通過方柱右下角)
(2) 電流變小使得磁力矩變小，會導致正向力作用點向左移動。
以方柱右下角為支點
0
W
N
F
B
2
)
2
(
3
1
W
x
W
W
3
x
(電流減為 1/3，磁力矩會減為(1)的 1/3，以
)
2
(
3
1
W
表示
)
(3) 以方柱最右側為座標原點
計算上表面每部份電流造成的力矩再取總和
B
F
B
F
N
W
s
f
B
x
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B
I
x
B
I
dx
x
B
dI
x
dF
B
F
B
2
0
0
2
1
)
(
)
(
)
(
0
W
F
B
2
2
1
2
W
B
I
B
W
I
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【第二題】
自然界裡的波動無論是橫波或縱波皆遵守特定的偏微分方程式：
2
2
2
2
2
x
u
v
t
u
(對一
維波動而言)，其中
)
,
( t
x
u
為波上各點在空間中隨時間的位置函數。行進中的正弦波
)
sin(
)
,
(
t
kx
A
t
x
u
可為此偏微分方程式的一個解， k 及
是對波動有意義的特定
常數。
(1) 若某波動方程式滿足
)
6
4
sin(
10
)
,
(
t
x
t
x
u
，試計算
x
=2 處在第 1 秒末的振動速
度大小
[5 分]與 6 秒內移動的路徑長[5 分]。
(2) 計算橫波介質質點的振動速度時，可由波形斜率來作分析，波形上某點的切線斜
率為
tan 。試證明正弦波
)
sin(
)
,
(
t
kx
A
t
x
u
上質點振動速度滿足:
波速
質點振動
v
v
tan
[5 分]。
[
Hint： k 及
的特定條件是滿足經過一週期的時間或移動後，波形整體不變的週
期性
𝑢 𝑥
𝜆
𝑢 𝑥 & 𝑢 𝑡
𝑇
𝑢 𝑡 ]
(3) 考慮兩完全相等的行進波相向而行重疊，其中
)
sin(
)
,
(
1
t
kx
A
t
x
u
，
)
sin(
)
,
(
2
t
kx
A
t
x
u
，重疊後的合成波將形成駐波，一個波形不再向外傳遞，
只在原地振幅規律增減。試利用波的疊加性，證明兩個正弦波形成的駐波其公式
為何
[5 分]，並說明為何此駐波波形不隨時間行進[5 分]。此外，找出節點在空間
中分布的一般解(以波長
表達)
[5 分]。
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【第二題參考解】
(1)
6
5
)
1
6
2
4
cos(
10
6
)
6
4
cos(
10
6
)
,
(
t
x
dt
du
t
x
v
T
2
6
，可得
秒
12
T
6 秒移動距離恰為
，故運動路徑長為
(2)
由波形不變的週期性
)，
可知
T
2
，
2
k
由介質質點位移
)
sin(
)
,
(
t
kx
A
t
x
u
，知介質質點振動速率
)
cos(
)
,
(
t
kx
A
dt
du
t
x
v
波形斜率
)
cos(
tan
t
kx
A
k
dx
du
故
)
cos(
)
cos(
)
cos(
tan
t
kx
A
k
t
kx
A
k
T
t
kx
A
k
v
波速
得證。
(3)
駐波源自兩波相向重疊，令
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
t
x
u
t
x
u
t
x
u
故
)
cos(
)
sin(
2
)
sin(
)
sin(
)
,
(
t
kx
A
t
kx
A
t
kx
A
t
x
u
此解可視為一正弦波
)
sin(
2
)
,
(
)
(
kx
A
t
x
u
t
在原地不行進，其振幅
)
cos(
2
)
(
t
A
A
t
隨時
間週期性變化。
故節點位於
0
)
sin(
kx
位置，也就是
n
x
kx
2
處，
2
n
x
處。
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【第三題】
小明於
110 年中華民國國慶中，看到了直升機(質量 M)載巨幅國旗(m)以及配重
塊
(質量 M’)，飄揚著等速飛過總統府。若施加在國旗的風力為 f，請問：
(1) 請繪出國旗淨力圖，以及求出直升機所需之上升力。
(2) 直升機扇葉從靜止加速至每分鐘
x
轉，試求出直升機所造成的角動量以及轉動
動能
[以 MKS 制表示]。假設直升機扇葉由三個長方形扇葉組成，每個扇葉長度
L，質量 m。[注: 當尾端固定時，長方形物體的轉動慣量為
I
𝑚𝐿 ]。
(3) 在多啦ㄟ夢的卡通中，大雄所使用的竹蜻蜓到達天空中的任何一個地方，請問這
個在現實中是否可能達到
? 請解釋原因。
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【第三題參考解】
(1)
直升機所需上升力為
(m+M+M’)g
(2)
扇葉最後角速度
ω
x
𝑥
扇葉的總轉動慣量為
=3*(
𝑚𝐿
𝑚𝐿
Angular momentum 角動量
L
Iω
𝑚𝐿
𝑥 𝑘𝑔 ∗ 𝑚
The rotational kinetic energy
E
Iω
𝑚𝐿
𝑥
𝑚𝜋 𝐿 𝑥 𝐽
(3)
這個在現實中無法達到。因為叮噹的「竹蜻蜓」沒有尾翼，是不可能使大雄穩定地
飛行的，大雄只會不停地打轉！
基於角動量守恆的原理，在沒有外力的影響下，直昇機的總角動量為零，如果我們
假設機翼以順時針方向轉動，則機身應該會以相反方向，即以逆時針轉動，不停地
打轉。所以，沒有尾翼的直昇機是不可能穩定下來的，因為它會一直受到一個逆時
針方向的力矩。轉動的尾翼就可以為機身提供一個順時針方向的力矩，與機翼產生
的力矩亙相抵消，使機身穩定下來
(M’+m)g
T
f
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【第四題】
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
cc
e
rla
tio
n
a
t Z
d
ire
cti
o
n
(
以重力加速度
g
為單位
)
Time(s)
(a)
2.12 2.16 2.20 2.24 2.28 2.32 2.36 2.40 2.44 2.48 2.52 2.56 2.60
-1
0
1
2
3
4
5
A
ccer
lat
ion
at
Z
d
irect
ion
(
以重力加速度
g
為單位
)
Time(s)
(b)
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圖
(a)顯示一台 IPHONE 落到枕頭上的垂直(z 軸)加速度數據，如果手機沒有在加
速的話
,其讀數為 1g。假設此台 IPHONE 重量 w 克重。試求：
(1) 手機第一次自由落體運動時間以及其下落的距離。
(2) 由圖(a)中，試找出何時( t = ? )手機會受到最大的作用力，其數值為何? 此時所受
到的衝量為？
(3) 手機彈跳的次數。
(4) 請提出一物理模型描述 t=2.20 秒到 2.50 秒的運動圖(b)。
(5) 承(4), 請估算枕頭的彈性係數為？
【第四題參考解】
(1) 自由落體時間=0.5s 自由下落距離=
𝑔𝑡
1.26 𝑚
(2) 最大作用力發生於 t=1.35(s)時，最大作用力為 8.2w(kgw)=80.36w(N)，
衝量
∆P
𝐹 𝑑𝑡
80.36w ∗ 0.04
13.18w kg ∗ m/s
(3) 一共有 3 次自由落體，第一次為接觸枕頭前，所以反彈 2 次
(4)
(5) 找出平均週期為 0.042(s) 可裡用週期公式
𝑇
2𝜋
k
4𝜋 𝑤
𝑇 𝑔
2.28𝑤 𝑁/𝑚