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109 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第6 區(屏東高中) 口試(一)
A. 試證明任意 9個相異的正整數中，必可找出四個相異的數
𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐,𝑑𝑑，使得 20|𝑎𝑎+𝑏𝑏 −𝑐𝑐 −𝑑𝑑 成立。
【參考解答】
20|𝑎𝑎+𝑏𝑏 −𝑐𝑐 −𝑑𝑑 成立等同 於𝑎𝑎+𝑏𝑏 與 𝑐𝑐+𝑑𝑑 除以 20 的餘數相同。
考慮 9個相異的正整數，除以 20 之後若有 7種以上的餘數，則取出 7個餘數不同的
數。考慮此 7數任取兩數相加，若有兩組數除以 20 的餘數相同，則為所求。若否，
則每組數的餘數皆不相同，故共有 21 種餘數，矛盾。
而若除以 20 之後只有 6種以內的餘數，可知必有兩數的餘數相同，設為𝑎𝑎 與 𝑐𝑐。扣
除此兩數之後，仍有 7個數，故另有兩數的餘數相同，設為 𝑏𝑏 與 𝑑𝑑。可得出 𝑎𝑎+𝑏𝑏
與 𝑐𝑐+𝑑𝑑 的餘數相同，即為所求。
B. 試證明存在 8個相異的正整數，其中任意四個相異的數
𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐,𝑑𝑑，20|𝑎𝑎+𝑏𝑏 −𝑐𝑐 −𝑑𝑑 均不成立。
【參考解答】
若有 8個數，其中任意四個相異的數 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐,𝑑𝑑，20|𝑎𝑎+𝑏𝑏 −𝑐𝑐 − 𝑑𝑑 均不成立。
由先前討論可知此 8個數除以 20 之後恰有 6種餘數，且其中有 3個數的餘數相同。
設有 3個數的餘數為 1。可設有一個數的餘數為 2與另一個數的餘數為 3。
但因 1+4 = 2+3，剩餘數字的餘數皆不為 4。
再設一個數的餘數為 5。
因1+6 = 2+5，1+7 = 3+5，剩餘數字的餘數皆不為 6或7。
再設一個數的餘數為 8。
因1+9 = 2+8，1+10 = 3+8，2+11 = 5+8，1+12 = 5+8，剩餘數字的餘數皆不為 9,10,11
或12。
可設最後一個數的餘數為 13。
故，若取 21, 41, 61, 22, 23, 25, 28, 33，則此 8個數其中任意四個相異的數𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐,𝑑𝑑，
20|𝑎𝑎+𝑏𝑏 −𝑐𝑐 −𝑑𝑑 均不成立。
109 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第6 區(屏東高中) 口試(二)
求證 : �1 + 1
𝑛𝑛�𝑛𝑛<�1 + 1
𝑛𝑛+1�𝑛𝑛+1， 𝑛𝑛 為正整數。
【參考解答】
1. [引理]:
𝐴𝐴𝑘𝑘
𝑛𝑛�1
𝑛𝑛�𝑘𝑘<𝐴𝐴𝑘𝑘
𝑛𝑛+1 �1
𝑛𝑛+1�𝑘𝑘
，
2≤ 𝑘𝑘 ≤ 𝑛𝑛，n, k 為正整數。
引理證明 :
LHS = 𝑛𝑛!
𝑘𝑘!(𝑛𝑛−𝑘𝑘)!∙�1
𝑛𝑛�𝑘𝑘=𝑛𝑛(𝑛𝑛−1)(𝑛𝑛−2)…(𝑛𝑛−𝑘𝑘+1)
𝑘𝑘!∙�1
𝑛𝑛�𝑘𝑘
= 1
𝑘𝑘!∙1∙�1−1
𝑛𝑛�∙�1−2
𝑛𝑛�…∙�1−𝑘𝑘−1
𝑛𝑛�
< 1
𝑘𝑘!∙1∙�1−1
𝑛𝑛+1�∙�1−2
𝑛𝑛+1�…∙�1−𝑘𝑘−1
𝑛𝑛+1�
= (𝑛𝑛+1)!
𝑘𝑘!(𝑛𝑛+1−𝑘𝑘)!∙�1
𝑛𝑛+1�𝑘𝑘=𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
2. 證明本題，
LHS =�1 + 1
𝑛𝑛�𝑛𝑛=𝐴𝐴0
𝑛𝑛+𝐴𝐴1
𝑛𝑛�1
𝑛𝑛�1+⋯+𝐴𝐴𝑛𝑛
𝑛𝑛�1
𝑛𝑛�𝑛𝑛
< 𝐴𝐴0
𝑛𝑛+1 +𝐴𝐴1
𝑛𝑛+1 �1
𝑛𝑛+ 1�1
+⋯+𝐴𝐴𝑛𝑛
𝑛𝑛+1 �1
𝑛𝑛+ 1�𝑛𝑛
+𝐴𝐴𝑛𝑛+1
𝑛𝑛+1 �1
𝑛𝑛+ 1�𝑛𝑛+1
=�1 + 1
𝑛𝑛+1�𝑛𝑛+1 = RHS
故原式得證。