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2019 小學數學競賽選拔賽決賽試題
第 二 試: 綜合能力測驗 (考試時間 60 分鐘)
請將答案填入考卷中對應題號的空位內，每一題都必須詳細寫下想法或理由。
每題 20 分，共 60 分。
1. 已知正整數 a、b滿足1 60a b≤ < ≤ 且a b×能被 5整除，請問符合此條件的不
同正整數對(a, b)總共有多少對？
【參考解法 1】
從1到60 的60 個數之中，有 12 個數能被 5整除，有 48 個數不能被 5整除。（5分）
若a、b都能被 5整除，則可從能被 5整除的 12 個數中選取二個，將較小的數
當作 a，將較大的數當作 b，此情況的數對有
12 11 66
2
×=
對；（
5
分）
若a、b中只有一個能被
5
整除，則可從能被
5
整除的
12
個數中選取一個，從
不能被
5
整除的
48
個數中選取一個，將較小的數當作 a，將較大的數當作 b，
此情況的數對有
12 48 576× =
對。（
5
分）
故符合此條件的不同正整數對
(
a
,
b
)
總共有
66 576 642+ =
對。（
5
分）
【參考解法
2
】
從
1
到
60
的
60
個數之中，有
12
個數能被
5
整除，有
48
個數不能被
5
整除。（
5
分）
全部的正整數對共
60 59=1770
2
×
對（
5
分），其中兩數都不為
5
的倍數之正整數對共
48 47 =1128
2
×
對（
5
分），因此符合條件的不同正整數對
(
a
,
b
)
總共有
1770 1128 642− =
對。（
5
分）
【參考解法
3
】
當a為
5
的倍數時，b可為
1
a
+
、
2
a
+
、…、
60
，共
60
a
−
個可能的取值，所以此
情況共有
(60 5) (60 10) (60 15) ... (60 55) 330− + − + − + + − =
個不同正整數對；（
5
分）
當b為
5
的倍數時，a可為
1
、
2
、…、
1
b
−
，共
1
b
−
個可能的取值，所以此情
況共有
(5 1) (10 1) (15 1) ... (60 1) 378− + − + − + + − =
個不同正整數對；（
5
分）
若a、b都能被
5
整除，則可從能被
5
整除的
12
個數中選取二個，將較小的數
當作 a，將較大的數當作 b，此情況的數對有
12 11 66
2
×=
對；（
5
分）
因此符合條件的不同正整數對
(
a
,
b
)
總共有
330 378 66 642+ − =
對。（
5
分）
答案：
642
對
2. 有一個機器人可以根據使用者的合理指令生成一組數位編碼。小偉提出的指
令如下：
（
1
）生成的每個編碼均為三位數（最左側的數碼不為
0
）；
（
2
）任意兩個編碼至多在一個數位上的數碼是對應相同的。
請問這個機器人至多可以生成多少個符合以上指令的編碼？
【參考解法 1】
由題意可知，任兩個編碼至少在兩個數位的數碼是對應不同的。因此，編碼數
量不能超過 90 個。因為百位數只能為 1至9這九個數碼，十位數可以為 0至9
這十個數碼，從而前面兩位數碼總共可以構成
9 10 90
× =
個不同的兩位數。若編
碼數量大於或等於 91，由抽屜原理，至少有兩個編碼的前面兩位數碼對應相同，
矛盾。（5分）
現在構造 90 個編碼：前面兩位數碼取遍 10 至99 這個 90 個號碼，第三位數碼
取前面兩位數碼之和的個位數。（5分）
下面說明這 90 個編碼符合指令。對於任意兩個編碼，若前面兩位數碼已經對應
不同，則它們已經滿足要求；若前面兩位數碼只有一個對應不同，另外一個對
應相同，則第三位數碼肯定不同。假設後面一種情況第三位數碼相同，不妨設
這兩個編碼分別為
abd
、
acd
，其中
0 9
c b
≤ < ≤
，由構造的方法可知，只能是
10
a b a c
+ = + +
，因此
10
b c
− =
，不可能。所以第三位數碼不同。（10 分）
【參考解法 2】
正確列出所有 90 個符合指令的編碼。（10 分，如有任何一個缺漏或不符合指令
一律給 0分）
證明至多有 90 個符合指令的編碼。（10 分）
答案：90 個
【評註】
這90 個編碼也可以這樣構造：前面兩位數碼取遍 10 至99 這個 90 個號碼，第
三位數碼取法為使得所有三個數碼之和為 10 的倍數。若前面兩位數碼只有一個
對應不同，另外一個對應相同，則第三位數碼肯定不同。
3. 已知 ABCD 為梯形，邊 AD 平行於 BC，對角線 AC 與BD 交於點 O，過 O
作OE 平行於 BC 交CD 於點 E，且延長 OE 至點 F，使得
OE EF
=
，如圖所
示。若
6
AD
=
cm、
10
BC
=
cm，梯形 ABCD 的面積為 64 cm
2
，請問三角形
ABF 的面積為多少 cm
2
？
【參考解法 1】
連接 DF 與CF，由平行線的性質可知三角形 AOF 與三角形 DOF 的面積相等、
三角形 BOF 與三角形 COF 的面積相等，所以四邊形 AOBF 與四邊形 DOCF 的
面積相等。由題意可知點 E是線段 OF 的中點，所以三角形 DOC 與三角形 DCF
的面積相等，因此四邊形 DOCF 面積為三角形 DOC 面積的 2倍。（5分）
A
C B
E F
D
O
因為
6 3
10 5
ACD ABD AD
ABC BCD BC
= = = =
三角形 的面積 三角形 的面積
三角形 的面積 三角形 的面積 ，所以三角形 ABD
面積為梯形 ABCD 面積的
3 3
5 3 8
=
+倍，即 3
64 24
8
× =
cm
2
。（5分）
由三角形 DOA 與三角形 BOC 相似可知
6 3
10 5
DO AD
OB BC
= = =
.
(或由共邊定理可知
3
5
DO ACD
OB ABC
= =
三角形 的面積
三角形 的面積 )
從而
3
5
ADO DO
ABO OB
= =
三角形 的面積
三角形 的面積 。因此
三角形 ABO 面積為三角形 ABD 面積的
5 5
5 3 8
=
+倍，即 5
24 15
8
× =
cm
2
。（5分）
由題意可知 AD//BC，因此三角形 ABD 與三角形 ACD 的面積相等，兩邊同時減
去三角形 AOD 的面積後可得知三角形 ABO 與三角形 DOC 的面積相等。
綜上可得，因三角形 ABF 的面積為三角形 ABO 與四邊形 AOBF 的面積和，而四
邊形 AOBF 與四邊形 DOCF 的面積相等，且四邊形 DOCF 的面積為三角形 DOC
面積的 2倍，再因三角形 ABO 與三角形 DOC 的面積相等，故三角形 ABF 的面
積為三角形 ABO 面積的 3倍，即
15 3 45
× =
cm
2
。（5分）
【參考解法 2】
由題意可知 AD//BC，因此三角形 AOD 與三角形 COB 相似，即
6 3
10 5
DO AO AD
OB OC BC
= = = =
且
22
2
6 9
( )
10 25
AOD AD
COB BC
= = =
三角形 的面積
三角形 的面積 。（5分）
令三角形 AOD 的面積為 9x，則三角形 COB 的面積為 25x。而三角形 AOD 與三
角形 COD 的面積都是 5
9 15
3
x x
× = 。
故梯形 ABCD 的面積為
9 25 15 15 64
x x x x x
+ + + =
，即
1
x
=
。因此三角形 AOB、
DOC 的面積都為 15 cm
2
（5分）
連接 AE 與BE。由平行線的性質以及
OE EF
=
可知三角形 DOE、AOE、AEF 的
面積都相等，即三角形 AOF 面積為三角形 DOE 面積的 2倍。同樣地，也可以
得知三角形 COE、BOE、BEF 的面積都相等，即三角形 BOF 面積為三角形 COE
面積的 2倍。
（5分）
A
C B
E F
D
O
而三角形 ABF 的面積是三角形 ABO、AOF、BOF 的面積總和，即為
15 2 1515 2 (
45
DOE COE
+ ×
+ =
=
+ ×
)三角形 面積 三角形 面積 cm
2
。（5分）
【參考解法 3】
由題意可知 AD//BC，因此三角形 AOD 與三角形 COB 相似，即
6 3
10 5
DO AO AD
OB OC BC
= = = =
（5分）
因
6
AD
=
cm、
10
BC
=
cm、梯形 ABCD 的面積為 64 cm
2
，故梯形的高為
64 2
8
6 10
×
=
+cm。接著延長 OF 交AB 於點 G。
因OE//AD，故
5
8
OE OC
AD AC
= =
，即可得知
5 5 15
6
8 8 4
OE AD
= × = × =
cm；
因
OE EF
=
，故
15
4
EF
=
cm
；（
5
分）
因
OG//BC
，故
3
8
OG AO
BC AC
= =
，即可得知
3 3 15
10
8 8 4
OG BC
= × = × =
cm
；（
5
分）
故
45
4
GF OG OE EF= + + =
。因三角形
ABF
的面積為
18 4
2
GF GF
× × =
，故可知
三角形
ABF
的面積為
45
4 45
4
× =
cm2
（
5
分）。
答案：
45 cm2
A
C B
E F
D
O
G