加載中. ..
PDF
注意：
允許學生個人、非營利性的圖書館或公立學校合理使用
本基金會網站所提供之各項試題及其解答。可直接下載
而不須申請。
重版、系統地複製或大量重製這些資料的任何部分，必
須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許
可。
申請此項授權請電郵 c[email protected]
Notice:
Individual students, nonprofit libraries, or schools are
permitted to make fair use of the papers and its
solutions. Republication, systematic copying, or
multiple reproduction of any part of this material is
permitted only under license from the Chiuchang
Mathematics Foundation.
Requests for such permission should be made by
2017 小學數學競賽選拔賽初賽試題
第 二 試：應 用 題 (考試時間 90 分鐘)
◎
請將答案填入答案卷對應題號的空格內，只須填寫答案，不須計算過程。
本題目卷正反面空白處可為作演算草稿紙。每題 25 分，共 300 分
1. 某旅館服務生把四間客房的鑰匙隨意分給住在這四間客房的旅客，其中恰好
有2人能打開自己的房門。請問這四名旅客拿到的鑰匙共有多少種不同可能
的情況？
【參考解法】
從四名旅客中選出兩個能打開自己房門的旅客，有
4 3 6
2
×=
種情況。根據題意，
另兩名旅客只能是互相拿了對方的鑰匙，僅
1
種情況。所以這四名旅客拿到的
鑰匙共有6 1 6× = 種不同可能的情況。
答：6種
2. 請問
4 6 10
3 5 7× ×
有多少個因數與 15 互質？
【參考解法】
4 6 10
3 5 7× ×
與15 互質的因數只能是質因數分解式之形式為
7
i
的數，其中 i = 0、1、
2、…、10，故共有 11 個數。
答：11 個
3. 教師與學生共 20 人前往博物館參觀，已知每張門票票價為 200 元，而教師可
獲減價 10%的優惠、學生可獲減價 50%的優惠。若全部支付的門票總費用為
2640 元，請問其中總共有多少位教師？
【參考解法 1】
可知每張教師門票為200 90% 180× = 元、每張學生門票為200 50% 100× = 元，即
每張學生門票比每張老師門票便宜180 100 80− = 元。若全部都是學生，則總費用
應為20 100 2000× = 元，比實際支付的費用少2640 2000 640− = 元，故可得知其
中總共有640 80 8÷ = 位老師。
【參考解法 2】
可知每張教師門票為200 90% 180× = 元、每張學生門票為200 50% 100× = 元。
設教師有 x位，則學生有20 x−位，故得180 100(20 ) 2640x x+ − = ，解得 8x=。
答：8位
4. 將一個 10 cm × 6 cm 的矩形分割為五個 2 cm × 6 cm 的小矩形，畫出大矩形
的對角線，並將其內部若干個三角形塗上陰影，如下圖所示。請問圖中陰影
部分的總面積比白色部分的總面積大多少 cm
2
？
【參考解法 1】
所有塗上陰影三角形恰被矩形的一條對角線分成全等的兩部分，其面積總和相
等。現只關注對角線下方的五個塗上陰影三角形，可知這五個三角形的底邊都
相等，都等於 2 cm。而其高之比由左至右分別為 1：2：3：4：5，其長度分別
等於 1.2 cm、2.4 cm、3.6 cm、4.8 cm、6 cm。因此知五個塗上陰影三角形的面
積之和為
1
(1.2 2.4 3.6 4.8 6) 2 18
2
× + + + + × =
cm
，即長方形內所有塗上陰影三角形
面積之和為
36 cm2
，故白色部分的總面積為
6 10 36 24
× − =
cm
2
，即可得知陰影部
分的總面積比白色部分的總面積大
36 24 12
− =
cm
2
。
【參考解法 2】
將在矩形內塗上陰影的三角形移動合併在一起，可得如下右圖的情況：
易知塗上陰影部分的總面積與白色部分的總面積之差等於右側的小矩形，即陰
影部分的總面積比白色部分的總面積大
2 6 12
× =
cm
2
。
答：12 cm
2
5. 用2、0、1、7這四個數碼各一個排成被 11 除餘 4的四位數，請問這樣的四
位數共有多少個？
【參考解法 1】
要求被 11 除餘 4，可以這樣考慮：這樣的數減去 4後，就能被 11 整除。所以得
到一個「被 11 除餘 4」的判定法則：將偶數位數碼相加得到一個和數、將奇數
位數碼相加後再減去 4而得另一個和數，如果這兩個和數的大數減去小數之差
能被 11 整除，則這個數是被 11 除餘 4的數，若否就不是。把 2、0、1、7排成
一個被 11 除餘 4的四位數，可以把這 4個數碼分成兩組，每組 2個數碼，其中
一組作為千位數碼與十位數碼，並將它們的和記作 A；另外一組作為百位數碼
與個位數碼，並將它們之和減去 4記作 B。可知分組情況有：
千位數碼與十位
數碼 A 百位數碼與個位
數碼 B 大數減去小數
(1)
7、2
7 2
+
1、0
1 0 4
+ −
1
(2)
7、1
7 1
+
2、0
2 0 4
+ −
1
(3)
7、0
7 0
+
2、1
2 1 4
+ −
8
(4)
2、1
2 1
+
7、0
7 0 4
+ −
0 或11
(5)
2、0
2 0
+
7、1
7 1 4
+ −
2
(6)
1、0
1 0
+
7、2
7 2 4
+ −
4
可發現僅有第（4）種滿足要求。所以，這樣的四位數是 1027、1720、2017、2710，
共有 4個。
e
d
c
b
a
e
d
c
b
a
【參考解法 2】
用2、0、1、7這四個數碼各一個排成的四位數共有以下的 18 個。
1027、1072、1207、1270、1702、1720、2017、2071、2107、2170、2701、2710、
7012、7021、7102、7120、7201、7210。
被11 除餘 4，即奇數位數碼之和比偶數位數碼之和大 4或小 7。而只有 1027、
1720、2017、2710 這4個四位數符合。
答：4個
6. 已知一個三角形的兩條邊的長度分別是 6 cm 與13 cm，第三條邊的長度也是
整數 cm，請問這個三角形的周長最小可能是多少 cm？
【參考解法】
由三角形的兩邊差必小於第三邊之長度知第三邊的長度大於
13 6 7
− =
cm，故其
長度至少為 8 cm，因此周長最小為
13 6 8 27
+ + =
cm。
答：27 cm
7. 將數 1、2、3、4 分別填入
4 4
×
方格表的小方格中，使得每一行、每一列上
的四個數都不相同。若已填入部分小方格的數，如下圖所示，請問圖中 A、
B位置上的數之和是多少？
A
4
B
1
1
2
3
4
3
4
2
1
【參考解法】
A下方的空格不能填 1、2、4，故只能填 3，因此 A格只能填 1；
B上方的空格不能填 1、3、4，故只能填 2，因此 B格只能填 4。
故所求和為
1 4 5
+ =
，完整的填法如右圖所示。
答：5
8. 小虎與小亮都郵寄了一件重量超過 10 kg 的包裹，郵局的收費標準為：未超
出10 kg 的包裹每 kg 的運費為 6元，超出 10 kg 的部分每 kg 平均運費比原價
低2元。已知小虎郵寄的包裹比小亮郵寄的包裹重 20%且郵寄費多 12 元。請
問小虎郵寄的包裹之重量為多少 kg？
【參考解法】
由題意知，小虎與小亮兩人的包裹都超過 10 kg，小虎郵寄的包裹比小亮郵寄的
包裹郵寄費多 12 元，又知超出 10 kg 的部分每 kg 平均運費為
6 2 4
− =
元。故小
虎郵寄的包裹比小亮郵寄的包裹重
12 4 3
÷ =
kg，已知小虎郵寄的包裹比小亮郵
寄的包裹重 20%，故小亮的包裹重為
3 20% 15
÷ =
kg，即可得知小虎郵寄的包裹
之重量為
15 3 18
+ =
kg。
答：18 kg
2
1
4
3
4
3
1
2
1
2
3
4
3
4
2
1
9. 如圖是一個圓柱狀的捲筒衛生紙，中間有一個硬紙板做成的空心圓筒，衛生
紙等分成若干小段繞在圓筒上。其包裝上標記：「
138 mm 100 mm
×
(
×
長
寬
)/
段，
3
層」，表示每小段的長為
138 mm
、寬為
100 mm
，並含有三層。已知
每層衛生紙的厚度為
0.13 mm
、中間圓筒的外部直徑是
5 cm
、整卷衛生紙的
直徑是
12 cm
，請問一個捲筒衛生紙共有多少段？
(
圓周率
π
取
3.14
，所得結
果四捨五入保持整數
)
【參考解法】
因圓柱的體積為底圓面積與高之乘積，且高
100 mm = 10 cm
，故衛生紙的體積
為
2 2
12 5
3.14 ( ) 10 3.14 ( ) 10 934.15
2 2
× × − × × = cm3。而接著再由 138 mm = 13.8 cm、
0.13 mm = 0.013 cm，知每一段衛生紙的體積為
10 13.8 0.013 3 5.382
× × × =
cm3，
故一個捲筒衛生紙共有934.15
173.57 174
5.382
≈ ≈ 段。
答：174 段
10.
下圖是由一些等腰直角三角形拼成的圖形，若一隻螞蟻欲沿著三角形的邊從
A
點爬到
C
點，規定在爬行的過程中只能向右方、上方或者斜右上方爬行。
請問這隻螞蟻總共有多少條不同的爬行路徑？
【參考解法】
如圖所示，圖中各點的數即為螞蟻從起點到該點的
不同路徑數：
故從
A
點爬到
C
點共有 42 條不同的爬行路徑。
答：42 條
5 cm
138 mm
100 mm
12 cm
三層
一段
空心
硬紙筒
A
C
2
1 1 1 1
4 2 4
12
6 6
30
12
42
A
C
B
11. 從1到174 的所有正整數中選出 12 個互不相同且總和恰為 2017 的正整數。
請問總共有多少種不同的選取方式？
【參考解法】
從1到174 的所有正整數中選出 12 個互不相同的正整數，其和最大為
174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 164 163 2022
+ + + + + + + + + + + =
。
所以只需從 163、164、165、166、167、168、169、170、171、172、173、174
這些數中總共減掉 5。下面分情況討論：
(1) 僅有一個數減去 5。為了避免重複，這個數不能大於或等於 168，共有以下
5種方式：
174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 164 158 2017
174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 163 159 2017
174 173 172 171 170 169 168 167 166 164 163 160 2017
174 173 172 171 170 169 168 167 165 164 163
+ + + + + + + + + + + =
+ + + + + + + + + + + =
+ + + + + + + + + + + =
+ + + + + + + + + + +
161 2017
174 173 172 171 170 169 168 166 165 164 163 162 2017
=
+ + + + + + + + + + + =
(2) 有一個數減去 4、另一個數減去 1。可知只能從小於 167 的數減去 4且將 163
減1，但不可以有重複的數，故得到二條和為 2017 的等式：
(a)165 減去 4且將 163 減1
174 173 172 171 170 169 168 167 166 164 162 161 2017
+ + + + + + + + + + + =
(b)164 減去 4且將 163 減1
174 173 172 171 170 169 168 167 166 165 162 160 2017
+ + + + + + + + + + + =
(3) 減去的數不大於 3。可知只能從小於 166 的數減去 3且從小於 165 的數減去
2或減 1，但都不可能沒有不重複的數，故此情況沒有符合的等式。
綜上所述，共有 7種不同的選擇方式。
答：7種
12. 從1 、2、3、4、5、6、7、8這八個數中取出互不相同的數至少二個，使得
取出的數中任何兩個數之差都不為 2或6 (例如，如果取出的數為 1，就不能
取出 3或7)。請問共有多少種不同的取數的方法？
【參考解法 1】
由題意，可以把這 8個數分成如下圖所示的兩組，可以判斷出每組中相鄰的兩
個數不能同時取出，而其中一組的數之取法不影響另一組的數之取法。因此，
每組最多能取出兩個數，也就一次總共最多能取出 4個數。
1
3
5
7
2
4 6
8
下面按取出的數之個數分情況討論：
(1) 共取出 2個數：
若每組取 1個，則有
4 4 16
× =
種；若其中一組取 2個、另一組不取，則有
2 2 4
× =
種。故共有
16 4 20
+ =
種取法；
(2) 共取出 3個數：
只能是其中一組取 2個、另一組取 1個，共
2 2 4 16
× × =
種。
(3) 共取出 4個數：
只能是兩組各取 2個，共
2 2 4
× =
種。
綜上所述，總共有
20 16 4 40
+ + =
種取法。
【參考解法 2】
由題意，可以把這 8個數分成如下圖所示的兩組，可以判斷出每組中相鄰的兩
個數不能同時取出，故在同一組中有不取、取 1個、取 2個這三種情況，而每
一種情況的取法數依序為 1、4、2種，故同一組的取法總數為
1 4 2 7
+ + =
種。
因其中一組的數之取法不影響另一組的數之取法，故知兩組總共有
7 7 49
× =
種
取法，但這包括其中一組不取另一組取 1個與兩組都不取出數的情況，此不符
合要求。所以總共有
49 4 4 1 40
− − − =
種取法。
答：40 種
1
3
5
7
2
4 6
8