加載中. ..
PDF
109 學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（台南區） 筆試（一） 編號：________________
注意事項：
(1)時間分配：2小時
(2)本試卷共四題，滿分 49 分。第一題 12 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 13 分
(3)將計算ヽ證明過程依序寫在答案卷上。
(4)不可使用電算器。
(5)試題與答案卷一同繳回。
一、如圖所示，正方形𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴的邊長為2，點𝐸𝐸和𝐹𝐹分別在邊𝐴𝐴𝐴𝐴和𝐴𝐴𝐴𝐴上，使得∆𝐴𝐴𝐸𝐸𝐹𝐹
的周長為4，試求：
(1). ∠𝐸𝐸𝐴𝐴𝐹𝐹的度數；
(2). ∆𝐸𝐸𝐴𝐴𝐹𝐹面積的最小值。
二、已知函數 f的定義域為正整數而其函數值為非負整數，並滿足
f(m + n) – f(m) – f(n) = 0 或1，f(1) = 0, f(2) > 0,
f(300) = 150。
試求 f(109)之值?
三、設𝑓𝑓(4𝑎𝑎)+ 4𝑓𝑓(𝑏𝑏)=𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑎𝑎+𝑏𝑏))，函數 f的定義域及值域均為整數，求此函
數為何?
四、從 1 到2020 這2020 個正整數中，最多可以取出多少個相異數，使得所取
出的數中任意 5 個數的和均為 55 的倍數?(答案須詳敘理由)