一百零壹學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（台南區） 筆試（一）【參考解答】
一、【參考解答】
設題目中含有
k
條分數線的值為
k
k
m
n
且
,
1
k
k
m
n
，則
1
1
1
1
k
k
k
mk
k
k
nk
m
m
n
n
m
由
,
1
k
k
m
n
，知
,
1
k
k
k
m
n
n
，故可推得
1
1
,
k
k
k
k
k
m
m
n
n
m
，
即
1
1
1
1
,
k
k
k
k
k
k
m
m
m
n
n
n
。
由於
1
1
1
1
1
m
n
，
1
2
m
且
1
1
n
，將它與費波那契數列(Fibonacci
Sequence) :
1
2
1
1
1,
1,
k
k
k
F
F
F
F
F
比較，得知
2
1
,
k
k
k
k
m
F
n
F
。
故 所求之值為
2
2
2
2
2000
2000
1999
1999
m
mn n
F
F
F
F
.
二、
【參考解答】
z
z
x
x
6
6
2
2
x
xz
z
z
x
6
6
2
2
,
0
)
6
)(
(
xz
z
x
(i)
6
xz
0
yz
xy
, 所以
0
y
（不合）或
z
x
6
2
z
, 所以
i
z
6
，故
i
x
6
i
x
6
,
i
z
6
, 帶入方程組得
i
y
6
i
x
6
,
i
z
6
, 帶入方程組得
i
y
6
(ii)
z
x
6
2
2
xy
x
, 由
y
y
x
x
3
6
4
6
2
2
, 得
y
y
x
y
x
3
)
(
2
2
所以
x
y
或
x
y
2
若
x
y
6
2
2
2
x
x
，
z
i
x
6
，
6
xy
i
x
6
,
i
y
6
,
i
z
6
或
i
x
6
,
i
y
6
,
i
z
6
若
x
y
2
5
6
2
x
，
z
x
5
30
，
5
30
2
y
三、. 【參考解答】：因題目所給圖形對
CD
成對稱圖形，故我們只需先求出正方
形 ABCD 這一面的黑色部分面積(左半邊黑色部分面積)，接著再將此值乘 2
倍即為所求黑色部分面
積。
由切線性質知
DP
CD
且
PQ
BQ
令
0
x
BQ
所以
x
PQ
DP
DQ
8
x
BQ
AB
AQ
8
因為
ADQ
是直角三角形，利用畢式定理可得
2
2
2
)
8
(
8
)
8
(
x
x
解之得
2
x
BQ
6
AQ
因為
AQD
BQR
~
所以
3
8
3
4
BQ
BR
左半邊黑色部分面積
半圓面積
面積
CDR
8
3
128
4
2
1
2
1
8
8
3
8
2
故黑色部分面積
16
3
256
左半邊黑色部分面積
2
四、【參考解答】設此 9 個實數為
i
a , i = 1, 2, ........, 9
對每一個
i
a ，存在
)
2
,
2
(
i
x
，使得
i
i
x
a
tan
抽屜原理，一定有
i
x ，
j
x
使得
8
0
j
i
x
x
2
1
8
t a n
)
t a n (
0
j
i
x
x
即
ab
b
a
x
x
x
x
x
x
j
i
j
i
j
i
1
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(