103學年度高階國中數學科能力競賽複賽試題南區（臺南區）筆試（一）

103 學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題 

         南區（台南區） 筆試（一）

 

編號：________________

 

注意事項：                                                 

(1)時間分配：2 小時 

(2)本試卷共四題，滿分 49 分。第一題 12 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 13 分 

(3)將計算ヽ證明過程依序寫在答案卷上。  

(4)不可使用電算器。  

(5)試題與答案卷一同繳回。 

 

一、設 n 是大於 1 的正整數且使得

n

n

)

5

.

32

(

)

5

.

31

(



為正整數，求所有 n 的可能值

為何？ 

 

二、已知

1

x 、

2

x 、、

2014

x

 

和

1

y 、

2

y 、、

2014

y

 

均是正數， 

且滿足







2014

1

1

i

i

x

 

和 







2014

1

2014

i

i

y

。 

求證

2014

2

1

2014

2

1

2014

2014

2014

2

2

1

1

2015

)

(

)

)(

(

y

y

y

x

x

x

y

x

y

x

y

x















 

 

三、設函數

R

R

f



:

滿足下列三條件： 

          (1)

 

2014

)

0

(



f

，

   

          (2)

 

對任意

R

x



，

x

x

f

x

f

3

8

)

(

)

2

(









， 

 

          (3)  對任意

R

x



，

x

x

f

x

f

3

728

)

(

)

6

(









.  

      試求

)

2014

(

f

之值。 

 
四、一組等差為 5 的 402 個數 9, 14, 19, …,2014。證明從這些數中任選出 205 個

數，必定會至少有 6 個數

f

e

d

c

b

a

,

,

,

,

,

，使得

2028













f

e

d

c

b

a

。