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103 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（二）
編號：
（時間一小時）
注意事項：
1.
本試卷共六題填充題，滿分為二十一分。
2.
請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、求最大的整數
n
使得
3
103
11
n
n
也是整數。
二、
ABC
在
A
的兩條三等分角線分別交 BC 於
D
及
E
.已知
:
2 : 3 ,
B D D E
:
1: 3
AB AC
,
求
:
DE EC
.
三、設 , , ,
A B C D 為空間中相異四點，除 ,
B D 兩點間沒有線段相連外，其餘任
兩點間均恰有一條線段連接，且這些連接的線段長度均為
1
。有一隻螞
蟻，今從
A
點出發，沿著連接的線段爬行，當抵達C 點時就停止。假設
螞蟻在每一點選擇接下來走哪一條路的機率均等，那麼螞蟻所走距離的
期望值是多少？
四、設
2
2
2
2
( )
,
x
x
f x
求
2014
1
1007
n
n
f
。
五、已知 ,
a b 為正數，且
2
,
a
b
求
3
4
2
1
5
b
a
a
的最小值。
六、
設集合
, ,
A B C
滿足
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 },
A
B
C
A
B
C
(
為空集合)。若序對
( , , )
A B C
的可能情形共有
2
3 5 7
a
b
c
d
種，則數對
( , , , )
a b c d 為何？
(3.5 分)
(3.5 分)
(3.5 分)
(3.5 分)
( 3.5 分)
( 3.5 分)