110學年度高級中學數學學科能力競賽
中投區複賽試題（二）
（時間一小時）
注意事項：
1.
本試卷共七題填充題，每題 3 分，滿分為 21 分。
2.
請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
ㄧ、設
0
2
，求
3
sin
cos
的最大值。
二、某國家的紙鈔面額有
1 元、5 元、10 元和 50 元等 4 種，將它
們湊成
100 元的方式有幾種？
三、若正整數
n
滿足
10
2
10
0
1
2
10
2
2
2
3 10
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
，則
n
之值
為何？(
log3 0.4771
)
四、設
ABCD
為單位正方形，
,
E F
分別為
,
CD BC
的中點，
AE
交對角線
BD
於
P
，
AF
分別交
,
BD BE
於點
,
Q R
，試求四邊形
PQRE
的面積。
五、設
x
為非負實數，若非負整數
n
滿足
1
1
2
2
n
x
n
，則定義
( )
r x
n
，此即實數 x 四捨五入到個位數之後的結果。求滿足
方程式
2
( ) 2 ( ) 3 0
r x
r x
的所有非負實數
.
x
六、化簡
0
( 1)
.
(
2)(
3)(
4)
n
n
k
k
k
C
k
k
k
七、設
n
為正整數，令
( )
E n
表示
n
x
y
的展開式中偶係數的個數，
例如：因為
2
2
2
(
)
2 +
x
y
x
xy y
，所以
(2) 1.
E
求
(1)
(2)
(31)
E
E
E
的和。
110 學年度高級中學數學學科能力競賽
中投區複賽試題（二）解答
一、【解】
由算幾不等式
2
2
2
2
3
2
2
4
1
1
1
sin
sin
sin
cos
1
1
3
3
3
sin
cos
4
4
3
可得
3
3
3
sin
,
16
coc
其中等號成立於
2
1
sin
cos
3
,即
3
二、【解】
設 1 元、
5 元、10 元和 50 元各有
, . ,
a b c d
張，於是
5
10
50
100
a
b
c
d
.不妨設{
10
50
10
(1)
5
100 10
(2)
C
d
x
a
b
x
其中
0,1,2, ,10
x
給定 x ,(1)式的解 ( , )
c d 恰有
1
5
x
組
而(2)式的解
,
a b 恰有 21 2x
組
因此
, , , ,
a b c d 解的組數為
10
0
21 2
1
5
x
x
x
=
21 19 17 15 13 1
11 9 7 5 3 2 1 3 158
三、【解】
2
0
1
2
2
2
2
(1+2)
3
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
，得
10
10
10
3
3 10
n
因此：
10
10
log3 log(3 10 ) 10 log3
n
或
10
10
1
log3
log3
n
或
10
10
1
0.4771
0.4771
n
， 所以
21
n
。
四、【解】
2
1
1 1
:
,
2 3
x y
y
x
P
P
1
1
2
2 2
,
3 3
x y
y
Q
Q
2
1
1
1
2
4 3
,
5 5
y
x
y
R
R
1 2 4 1 1
3 3 5 2 3
1 2 3 1
0
2 3 5 2
1
2
2
15
五、【解】
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( )=
0.5
0.5
0.5, ( )
0,
( ) 2( ) 3 0,
0.5, ( ) 1 ( ) 1,
(
0.5)
(
0.5) (1)
( ) 2( ) 3 0
( )
2
3
2
2.5
2
3.5
x
n
n
x
n
x
x
x
x
x
x
x
n
x
n
x
x
x
n
n
x
n
-
£ < +
<
=
-
- <
³
³
³
-
£
<
+
-
- =
=
+
+
£
<
+
設
若
則
此時
不可能有解。
若
則
且
此時
由題目給的條件
2
2
2
2
(2)
(1) (2) ( - 0.5)
2
3.5
3
3.75 0 (3)
2
2.5 (
0.5)
2.25 0 (4)
3
2.5
3.5 (
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
£
+
-
-
£
+
£
+
- -
³
=
£ <
由
跟
，
且
由
(3)
、
(4)
2
5)
(2) 8.5
9.5 (6)
8.5
9.5
x
x
£
<
£ <
由
，
故此方程的非負解為
。
六、【解】
0
( 1)
2 (
3)(
4)
k
n
n
k
k
C
k
k
k
0
1
!
(
1) ... (
4) (
1) ... (
4)
( 1)
(
2)(
3)(
4) (
)! ! (
1) ... (
4) (
1) ... (
4)
n
k
k
n
n
n
k
k
k
k
k
n
k k
k
k
n
n
4
4
0
(
1)
( 1)
(
1)(
2)(
3)(
4)
n
k
n
k
k
k
n
n
n
n
4
4
4
(
3)
( 1)
(
1)(
2)(
3)(
4)
n
k
n
k
k
k
n
n
n
n
4
4
4
4
4
4
0
0
0
( 1) (
3)
( 1)
3
( 1)
n
n
n
k
n
k
n
k
n
k
k
k
k
k
k
k
k
4
4
4
4
1
1
(
3)!(
4)
( 1)
3(1 1)
( 1)
(
1)!(
4
)!
n
n
k
n
n
k
k
k
k
n
n
k
k
n
k
4
3
1
3
3
3
1
1
0
(
4)
( 1)
(
4)
( 1) ( )= ( +4)(1 1)
0
n
n
k
n
k
n
n
k
k
k
k
n
n
n
4
4
4
3
4
0
1
( 1) (
3)
(
1)(
2)(
3)(
4)
1
( 1) (
3)
(
1)(
2)(
3)(
4)
n
k
n
k
k
k
n
k
k
k
n
n
n
n
k
n
n
n
n
1
(
4)!
(
4)!
3 2
(
1)(
2)(
3)(
4)
(
3)!1! (
2)!2!
n
n
n
n
n
n
n
n
1
(
3)(
4)
3 2(
4)
(
1)(
2)(
3)(
4)
2
n
n
n
n
n
n
n
1
(
1)(
2)
1
(
1)(
2)(
3)(
4)
2
2(
3)(
4)
n
n
n
n
n
n
n
n
七、【解】
令
( )
o n
表
(
)
n
x
y
展開係數為基奇數的數目，則
O(0)+O(1)+...+O(31)
E(0)+E(1)+...+E(31)
1 2 ... 32 528
將巴斯卡三角形中的偶數換成 0，奇數換成 1
則最上面兩列的和是
(0)
1)=3
O
O
最上面四列的和正好重覆 3 次，因此
2
(0)
(1)
(2)
(3)3 3 3
O
O
O
O
最上面八列的和正好重覆前四列 3 次，因此
2
3
(0)
(1) ... (7) 3 3
3
O
O
O
同理可得
5
(0)
(1) ... (31) 3
O
O
O
因此，
5
E(0)+E(1)+...+E(31) 528 3
285
。