110 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（一）
編號：
（時間二小時）
注意事項：
1.
本試卷共五題計算證明題，滿分為四十九分。
2.
請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、
如圖，有一個單位正方形
ABCD
，一個質點
P
最初位在
D
處，
然後開始在正方形內部移動，移動的規則如下：首先直線行進
到
1
P
，其中
1
1
:
3 :1
AP P B
，在每次碰到正方形的邊時，都逆時
針轉
90
度再直線前行到下一個邊，於是依序得到
2
3
4
, , ,
P P P
。
試找出最小的正整數
N
，使得對所有
,
n
N
1
1
4
n
P P
。
二、如圖，一個平面上的機械裝置，設計原理如下：
有一個半徑為 r 的圓，圓心為 O ，圓 O 上有一個固定點 P ，另
有一個在圓上的動點 A。
考慮一個活動的菱形 ABCD ，菱形邊長為 L ，而這個菱形的
,
B D 兩點是由 PB
PD
l
決定，其中l 也是一個定值，且滿
足
0
2
L l
r
。
試證：當 A在圓 O 上移動的時候， C 點的軌跡是直線的一部
分。
三、如圖，在 ABC
中,
AB
AC
,
,
D E 分別是
AB 與
AC 上的
中點。通過 E 作一條垂直於
AC 的直線交
CD 於
F ,而 AF 的
延長線交 BE 於 G ,最後連接 CG
。
試證:
CBE
GCE
。
四、設數列
n
a
滿足
1
2
3
1,
2,
3
a
a
a
,
2
1
1
2
,
3
n
n
n
n
n
a
a
a
a
n
a
。
證明：
n
a
是整數數列。
五、設
,
a b 為大於
2 的兩相異正整數，若存在一個正整數數列
0
1
2
1
, , , ,
k
a a a
a
(其
中 k 為正整數)使得
0
1
,
k
a
a a
b
，而且對所有的
0,1, ,
i
k
，
1
1
i
i
i
i
a a
a
a
都是整
數，我們稱
,
a b 可被長度為 k 的正整數數列連結。
試證明：若 p 為大於 2 的質數，則 p 與
1
p
無法被長度為1的正整數數列連結，
但可被長度為
2 的唯一一個正整數數列連結。
(10 分)
(11 分)
(9 分)
(10 分)
(9 分)
110 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（一）【解答】
一、
【解】
如圖，令
3
tan
4
r
,觀察可得以下結果：
1
1
,
1
AP
r P B
r
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
3
3
2
3
2
3
4
2
3
4
2
3
4
4
4
(1
) tan
,
1 (
) 1
(1
) tan
,
1 (
) 1
(1
) tan
,
1 (
) 1
BP
r
r
r
P C
r
r
r
r
CP
r
r
r
r
r P D
r
r
r
r
r
r
DP
r
r
r
r
r
r
r P A
r
r
r
r
r
r
r
r
欲求
1
1
,
4
n
P P
已知
1 4
2
1 4
3
1 4
4
1
,
,
,
0.
4
P P
P P
P P
只要再確定
1 4 1
1
4
P P
的條件即可。
由
4 1
4 1
1
1 4 1
1
4 1
1
(1 ( )
)
(
( ) )
1
k
k
r
r
P P
AP
AP
r
r
r
r
r
2
2
4
2
2
4
2
4
9
4
4
16
7
4
1
1
(
)
(
)
(1
)
1
1
1
3
9
3
1
(1 ( ) )
(1 ( ) )
4
28
4
4
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
4
4
3
7
3
2
1 ( )
( )
4
9
4
9
或
4
4
9
( )
.
3
2
代
1
得
4
4
256
9
( )
.
3
81
2
代
2
得
8
8
8
8
2
8
8
1
2
8
4
1
1
1
1
8 8 7
1
8 28
61 9
( )
(1
)
1
( )
( )
( )
1
1
.
3
3
3
3
3
3
2
3 3
3
9
9
2
C
C
C
所以
1 5
1 9
1
1
,
4
4
P P
P P
。
綜合上述討論可得
1
1
6,
4
n
P P
n
故滿足題意的
6
N
.
二、
【解】
連接
OP
並延長為直線，並作通過
C
且垂直
OP
的直線
L
。
以下將證明：
C
的軌跡是直線
L
的一部分。
令
,
,
CP
t PA
s
並記
,
如圖，則
2
cos
2 cos
BA
t
s
L
t
s
2
cos
2 cos
OP
s
r
s
ABP
中，餘弦定理知
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2 cos
2
2
AB
AP
BP
L
s
l
L
s
L
s
l
L s
AB AP
由此得
2
2
2
2
2
cos
(2 cos
)cos
(
)
2
2
L
s
l
s
L
l
t
L
s
s
s
r
r
為定值。
故
的軌跡是直線
L
的一部分。
三、
【證明】
(A)考慮
ABE
與
GAE
，因為
EBA
DCA
EAG
且
BEA
AEG
,所以
(
ABE
GAE AA
相似)。得到
AE
GE
EB
EA
.
(B)由
AE
GE
EB
EA
得到
CE
GE
EB
EC
又
CEB
GEC
,所以
(
CEB
GEC SAS
相似)，
因此
CEB
GCE
.
四、
【證明】
由題意
2
1
1
2
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a a
a
得
1
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
令
2
1
n
n
n
n
a
a
b
a
則
1
3
1
2
,
2
n
n
n
n
b
b
b
a
a
所以
1
3
1
2
1
2
n
n
n
n
b
b
b
a
a
a
故
2
2
n
n
b
a
由
2
2
1
2
n
n
n
n
n
a
a
b
a
a
得
1
2
2
2
,
3.
n
n
n
n
a
a
a
a
n
五、
【解】
(i)
設
p
與
1
p
可被
a
連結，其中
a
為正整數。則
(
) |
p
a
pa
，由此可推得
C
2
(
) |
p
a
p
。由於
p
為質數，且
1
a
，可得
2
p
a
p
，即
(
1)
a
p p
。
此時
2
(
1)
1
a
p
p
而
2
2
(
1)
(
1)
(
1) 2
a p
p p
p p
p
，所以
(
1)
a p
無法整除
(
1)
a
p
，得矛盾。因此
p
與
1
p
無法被長度為 1 的數
列連結。
(ii)
設
p
與
1
p
可被正整數數列
,
b c
連結。 由(i)可知，
b
有唯一解
(
1)
b
p p
。同理，利用(i)也可看出，
(
1)
c
p
p
可滿足
(
1)
(
1)
c p
c
p
為
整數(但由於
1
p
非質數，
c
到此無法確認其唯一性)。可注意到
2
2
(
1)
1)
2
(
b
p
p
c
p
p
c
b
為整數。因此，存在正整數數列
,
b c
，使得
p
與
1
p
可被其連結。
接著我們證明
c
的唯一性。
由於
2
(
(
1)) | (
1)
c
p
p
且
2
(
) |
c
b
b
，其中
(
1)
b
p p
，存在兩個正整
數
1
2
,
d d
使得
2
1
(
(
1))
(
1)
c
p
d
p
……(1)
2
2
(
)
c b d
b
……(2)
此可推得
1
(
1)
1 (mod )
c
d
p
……(3)
2
0 (mod )
cd
p
……(4)
Case 1.
0 (mod )
c
p
由(3)得
1
1
d
，由(1)可知
1
1
1
d
p
，所以
1
1
d
，即
(
1)
c
p
p
。
Case 2.
0 (mod )
c
p
由(4)得
2
0
d
，令
2
1
d
ph
，代入(2)式，可得
1
0 (mod )
ch
p
，此即
1
0
h
，可令
1
2
h
ph
，即
2
2
2
d
p h
，其中
2
h
為正整數。可注意到
2
d
b
，
因此
2
2
bd
b
，此與(2)矛盾。
因此
(
1)
c
p
p
為唯一解。