102 學年度高級中學數學科能力競賽決賽
筆試試題（一）
【參考解答】
一、【參考解答】
1. 如左上圖，自
至
(即
)的垂線為
，故
的垂心
在
上。令
為
與
的交點。
交
於
交
於
。
因
為
的兩高，故
為其垂心，因此
。故
共圓，又
共圓，因此
。
2. 如右上圖，
的中垂線過
及
，令
為
的中點。
(在
的外接圓上)所對圓周角為圓心角
的一半。故
。
因
，
，是以
，得
共
圓，且
。
而
，
。
故
。
3. 由 1. 及 2. 得
。因此
,
,
共線。
A
RC
BC
AH
ARC
*
H
AH
N
*
AHH
BC
HX
*
CH
,
P
*
H X
CH
U
CN HP
、
*
CHH
X
*
H XU
CH
, , ,
C U X P
, , ,
P C H N
90
90
HXU
PCU
BCH
PCX
B
NHX
B
NAR
AC
O
*
O
M
AC
ARC
ARC
*
AO C
*
*
1
2
ARB
AO C
CO M
AR HOX
OXB
ARB
*
OXB
CO M
*
, , ,
C X O O
*
*
*
HXO
OCO
OCA
O CA
90
OCA
B
*
*
90
90
O CA
CO M
ARB
NAR
*
90
HXO
B
NAR
*
HXU
HXO
*
O
*
H
X
二、【參考解答】
先計算一排
格相鄰異色且兩端異色的塗色方法總數，記為
.
若只要求相鄰異色，則塗色方法數為
.
此時塗色方法可分為兩類：
(i)
第 1 格和第
格異色，方法數即為
.
(ii) 第 1 格和第
格同色，此時第 1 格和第
格必異色，故此類的塗
色方法數為
由上討論知：
(1)
現在利用(1)及
來求
.
對於
,
所以
(2)
以上公式(2)對於
皆成立，若進一步要求第 1 格塗
顏色，第
格塗
顏
色
，則塗色方法數為
以下考慮原題的塗色方法數，因為要求第 1 格、第
n
格和第
2n
格的顏色
互不
相同，不妨設其分別塗顏色
和 ，此時的塗色方法有
，
但顏色
和 的選擇共有
,
所以本題的塗色方法總數為
m
( )
f m
1
(
1)
m
k k
m
( )
f m
m
1
m
(
1).
f m
1
( )
(
1)
(
1)
m
f m
f m
k k
(1)
0
f
( ),
2
f m m
2
m
2
1
2
1
2
( )
( )
(
1)
(
1)
(
2)
( 1)
(2)
(1) +( 1)
(1)
( 1)
( )
(
1)
( 1)
(
1)
m
m
m
m i
i
m
m i
i
i
f m
f m
f m
f m
f m
f
f
f
f i
f i
k k
( )
(
1)
( 1) (
1)
m
m
f m
k
k
1
m
A
m
B
(
)
A
B
( )
(
1)
f m
k k
,
A B
C
( )
(
1)
(
1)
(
1)
f n
f n
k k
k k
,
A B
C
(
1)(
2)
k k
k
1
1
1
1
( )
(
1)
(
1)(
2)
(
1)
(
1)
2
(
1)
( 1) (
1)
(
1)
( 1)
(
1)
(
1)
(
1)(
2)
(
1)
( 1)
(
1)
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
f n
f n
k k
k
k k
k k
k
k
k
k
k
k k
k
k
k
k
k
三、【解】
(1) 首先證明性質：
若
及
都是有理數，則
也都是有理數。
理由如下：令
，則
將上式兩邊平方後得
，
令
，明顯
，則因
為有理
數，
故此
為有理數。
同理可證：
為有理數。
(2)求所有可能
值：
因為
為整數，所以
為有理數，又
為整數，由(1)知
都是有理
數。
令
，其中
為互質的正整數，因為
，
所以
。
同理可得：
，其中
為正整數。
因此
，由題意知此為整數，所以
。
(i) 如果
，則
，因此
(不合)
(ii) 如果
，則
中必有一數為 1，另二數都是 2，因此
( , , )
(2 2013, 2 2013,14 2013),
(2 2013,14 2013, 2 2013),
(14 2013, 2 2013, 2 2013).
a b c
, ,
p q r
p
q
r
,
,
p
q
r
t
p
q
r
2
2
2
2
(
)
(
)
2
2
2
2
p
q
t
r
p
q
pq
t
t r
r
pq
t
p
q
r
t r
2
2
2
2
4
(
)
4
4
(
)
pq
t
r
p q
t r
t r t
r
p q
2
A
t
r
p
q
0
A
2
2
4
4
4
pq
A
t r
t r A
r
,
p
q
( , , )
a b c
, ,
a b c
2013 2013 2013
,
,
a
b b
c c
a
2013
2013
2013
a
b
b
c
c
a
2013
2013
2013
,
,
a
b
b
c
c
a
2013
m
a
b
n
,
m n
2
2
2
2
2013
2013
(
)
m
a
b
n
n
m a
b
2
2
2
| 2013
| 3 11 61
1
2013
m
m
m
a b
n
2
2
2013 ,
2013
b c
x
c
a
y
,
x y
2013
2013
2013
1
1
1
a
b
b
c
c
a
n
x
y
1
1
1
3
n
x
y
1
1
1
3
n
x
y
1
n
x
y
2013
2(
)
6039
a b
b c
c a
a b c
1
1
1
2
n
x
y
, ,
n x y
(不合)。
(ii) 如果
，由於對稱性，為不失去一般性，不妨假設
。
如果
則
，
因此
(不合)
如果
則
，
當
時，不合。
當
時，
，因此
(不合)
當
時，因此
因取消限制條件，故得
2(
)
9 2013
a b c
1
1
1
1
n
x
y
1
3
1
n
x
y
y
3
y
1
1
2
2
3
3
3
3
n
x
x
y
x
x
n
2
2
3
2013,
3
2013,
a b
b c
2
3
2013
c a
2(
)
27 2013
a b c
2
y
1
1
1
2
2
2
4
2, 3, 4
n
x
x
y
x
x
2
x
3
x
6
n
2
2
2
6
2013,
3
2013,
2
2013
a b
b c
c a
2(
)
49 2013
a b c
4
4
x
n
2
2
2
4
2013,
4
2013,
2
2013
2(
)
36 2013
2 2013,
14 2013,
2 2013
a
b
b
c
c
a
a
b
c
a
b
c
( , , )
(2 2013, 2 2013,14 2013),
(2 2013,14 2013, 2 2013),
(14 2013, 2 2013, 2 2013).
a b c