103 學年度高雄市高級中學數學科能力競賽試題（一）
參考解答
1. 已知三個正實數 , ,
a b c 滿足
1
a b c
，試證：
3
2
a bc
b ca
c ab
a bc
b ca
c
ab
。
【參考解答】因為
2
2
1
1
1
+
(1
)(1
)
a bc
bc
bc
a bc
b c bc
b
c
欲證:
3
2
a bc
b ca
c ab
a bc
b ca
c ab
(a)
即
2
2
2
3
( 1
)
( 1
)
( 1
)
( 1
) ( 1
)
( 1
) ( 1
)
( 1
) ( 1
)
2
b c
c a
a b
b
c
c
a
a
b
(b)
利用交叉相乘得
4 (
3
)
3 (
1
)
b c
c a
a b
a b c
b c
c a
a b
a
b
c
a b c
(1)
將(1)式化簡成
9
a b
b c
c a
a b c
或
1
1
1
9
a
b
c
(2)
又
1
a b c
，利用柯西不等式可得
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
[ (
)
(
)
(
) ]
[ (
)
(
)
(
) ]
[ (
)
(
)
(
) ]
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
2
1
1
1
1 (
)
(1 1 1)
9
a
b
c
(3)
因為(2)與(3)相等，所以(b)不等成式成立，則(a)不等式成立得證。
2. 已知三角形 ABC 之三邊長分別為 , ,
a b c，且其外接圓半徑為
R
，若
a bc
R
b c
，
試求 ABC
的三內角之度數。
【參考解答】
1
2
.
2
bc
b c
bc
b c
由題意知，
1
2 .
2
R
bc
a
R
a
b c
但
2
2 .
a
R
a
R
2
2
1
2
(
)
0
bc
b c
bc
b
c
b
c
b c
。其次，由正弦定理知
s i n
1
9 0
A
A
故
45
B
C
3. 試求出方程式
4
21
4
4
4
x
x
x
的所有實數解。
【參考解答】Ans: 1 與-1
代入後可知 1 與-1 為方程式的兩個解。
且因
x
x
x
4
4
4
為偶函數，若能證明其在
,
0
之上是遞增函數，則無其他正實
數之解。
其中因
4
x 為遞增函數，故僅需討論
x
x
4
4
是否為遞增函數。
設
,
0
, b
a
且
b
a
則
b
a
a
b
a
b
a
b
a
a
b
b
4
1
1
4
4
4
1
4
1
4
4
4
4
4
4
因
,
0
, b
a
，故
1
4
4
0
b
a
，可得出
0
4
1
1
b
a
及
0
4
4
4
4
a
a
b
b
。
故
x
x
x
4
4
4
是遞增函數，
4
21
4
4
4
x
x
x
的唯一正實數解為 1。
同理，
4
21
4
4
4
x
x
x
的唯一負實數解為-1。
4. 設
40
3
2
1
,
,
,
,
a
a
a
a
皆為正數，滿足
40
40
3
2
1
a
a
a
a
及
100
2
40
2
3
2
2
2
1
a
a
a
a
。試證:
40
3
2
1
,
,
,
,
a
a
a
a
中必有四個數的和大於
10。
【參考解答】為不失去一般性，不妨假設
40
3
2
1
a
a
a
a
。
考慮一個長與寬為 40 與 10 的長方形，將其分為四個正方形。
由題意知，可以將邊長分別為
40
3
2
1
,
,
,
,
a
a
a
a
的 40 個小正方形，由左至右放進
這個長方形中。
假設
10
4
3
2
1
a
a
a
a
，則可知在左邊第二個正方形的所有小正方形皆包含於
一個長與寬為 10 與
2
a
的長方形中。
同理，在左邊第三個正方形的所有小正方形皆包含於一個長與寬為 10 與
3
a 的長
方形中，在左邊第四個正方形的所有小正方形皆包含於一個長與寬為 10 與
4
a
的
長方形中。
因假設
10
4
3
2
1
a
a
a
a
，故可將上述的三個長方形放入左邊第一個正方形
中，且不與在這個正方形中的小正方形重疊。可得知這 40 個小正方形的面積和
不大於 100。與
100
2
40
2
3
2
2
2
1
a
a
a
a
矛盾。
可參考附圖。
5. 如圖，在四邊形
ABCD
中
M
、
N
分別是對角線
AC
、
BD
的中點，又
AD
與
BC
相交於點
P
。 試證明：
PMN
的面積是四邊形
ABCD
面積的四分之一，即
1
4
PMN
ABCD
S
S
四邊形
。
【參考解答】 因為
, ,
A D P
與
, ,
B C P
分別共線，故
0
PD PA
且
0
PB PC
。
設
PA PB
k
PA PB
，則
1
1 1
1
2
2 2
2
PMN
S
k
PN
PM
PD
PB
PA
PC
1
1
8
8
PB PA
PD PC
PB PA PC PD
1
2
2
8
ABP
PDC
S
S
k
1
4
ABCD
S
k
四邊形
， 故
1
4
PMN
ABCD
S
S
四邊形
。
D
C
B
N
M
A
P