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103年公務人員特種考試司法人員、法務部調查
局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、
海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
代號：30960
考 試 別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科 組：數理組
科 目：線性代數
考試時間：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
全一頁
一、在 R3空間，找一正交基底（orthogonal basis）含向量 T
v]3,2,1[=。（20 分）
二、設線性方程組
x1 - x2 + 2x3+ x4 = 2
3x1 + 2x2 + x4 = 1
4x1 + x2 + 2x3+ 2x4 = 3
利用此方程組的增廣矩陣（augmented matrix），以 elementary row operations，
求此線性方程組的一般解。（15 分）
此解集合最多有幾個線性獨立解？（5分）
三、設向量空間 Pn為次方小於或等於 n之實多項式。另設函數 T：P2 → P3定為
T (p(x)) = (x + 1) p (x – 1)。
證明 T為線性映射（linear transformation）。（5分）
若P2, P3的有序基底（ordered basis）分別為{1, x, x2}, {1, x, x2, x3}，求線性映射 T
對此有序基底的矩陣表示（matrix representation）。（10 分）
若q (x) = 3x2 - 5x + 8，利用
，求 T (q(x)) =？（5分）
四、設 A, B為n階方陣，σ(H)表方陣 H的所有固有值（eigenvalue）的集合。證明
σ (AB) = σ (BA)。（20 分）
五、設二次方程式 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 為兩直線。證明
0)det( =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
fed
ecb
dba
，
此處 det 表矩陣之 determinant。（20 分）
（提示：將此二次式表示成兩個一次式的乘積，計算此矩陣的 8倍det）