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106年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題 代號：60960 全一張
（正面）
考試別： 國家安全情報人員
等別： 三等考試
類科組： 數理組（選試英文）
科目： 線性代數
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
須詳列計算過程，否則不予計分。
（請接背面）
一、已知矩陣：
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
1144
814
1685
A和⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−=
201
212
112
B
證明矩陣 A是可對角化。（12 分）
證明矩陣 B是不可對角化。（8分）
二、已知空間中非平行的兩條直線分別為：
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
0
1
1
1
1
;
3
1
2
1
0
3
t
z
y
x
s
z
y
x
求這兩條線之間最短的距離。（10 分）
求這兩條線上最短距離的點。（10 分）
三、已知一個線性變換 T：R3ÆR2定義為 T(x, y, z) = (x+y, 2z)。假設 R3的基底是{u1, u2, u3}
而且 R2的基底是{v1, v2}，其中 u1 = (1, 1, 0)，u2 = (0, 1, 4)，u3 = (1, 2, 3)，v1 = (1, 0)，
v2= (0, 2)。
求T的矩陣。（10 分）
使用 T的矩陣求向量 u=(2, 3, 5)的像（image）。（10 分）
四、已知矩陣：
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
100
110
101
011
B
求矩陣 B的QR 分解。（15 分）
證明 B = QR。（5分）
106年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題 代號：60960 全一張
（背面）
考試別： 國家安全情報人員
等別： 三等考試
類科組： 數理組（選試英文）
科目： 線性代數
五、已知矩陣：
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
=
4110
6312
2111
2100
A
求一個排列矩陣 P使得矩陣 PA 有一個 LU 分解（LU factorization）。（5分）
分別求出 L和U。（10 分）
證明 PA = LU。（5分）