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106年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題 代號：60930 全一頁
考試別： 國家安全情報人員
等別： 三等考試
類科組： 數理組（選試英文）
科目： 數論
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
（請接背面）
一、如果 p, p+2 兩個數都為質數，我們稱( p, p+2)為一對孿生質數。試證明( p, p+2)為一
對孿生質數的充分必要條件為 4(( p−1)!+1)+p ≡ 0(mod p( p+2))。（20 分）
二、φ(n)代表尤拉 Phi-函數（Euler Phi-function）。試證明：
對任意正整數 n，φ(n)必整除 n!。（15 分）
若正整數 n為奇數，n必整除 12 !−
n。（5分）
三、證明 2為mod 13 的原根（Primitive root）。（5分）
試求 4ݔ9 ≡ 7(݉݀ 13)的整數解。（15 分）
四、設 p為一奇質數。試證明同餘方程式ݔ2 + ݕ2 + 1 ≡ 0(݉݀ p)必有一組整數解(ݔ0, ݕ0)滿足
0 ≤ ݔ0 ≤2
1−p且0 ≤ ݕ0 ≤ 2
1−p。（20 分）
五、數列
{}
)3(,1, 2121 ≥+=== −− naaaaaa nnnn ；稱為費波那契數列（Fibonacci sequence）。
1843 年法國數學家比內（J-P-M. Binet）發現 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+
=
nn
n
a2
51
2
51
5
1。假設
p ≥ 7 為一滿足 p ≡ 2(mod 5)的質數，試證明若 2p−1也是質數，則 2p−1必整除 p
a。
（20 分）