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105年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題 代號：60960 全一張
（正面）
考試別： 國家安全情報人員
等別： 三等考試
類科組： 數理組
科目： 線性代數
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
一、設齊次線性方程組（homogeneous linear system）
0433
0852
0522
5432
54321
5421
=
=
=
xxxx
xxxxx
xxxx
＋＋＋－
－－＋－－
＋＋＋
利用此線性方程組的增廣矩陣（augmented matrix），以高斯喬登消去法（Gauss
Jordan elimination method）簡化至簡列梯形形式（reduced row-echelon form），求
此線性方程組的一般解集合空間（solution space）。（15 分）
求此解集合空間的一組基底及維度（dimension）。（5分）
二、設
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
010
821
－
－
－
A
求矩陣 P使得 P-1AP 為對角矩陣，並寫出此對角矩陣。（10 分）
利用，以相似變換方法（similarity transformation method）求矩陣 A11。（10 分）
三、令 T：P2 → R3為一函數，其定義為
T (p(x)) ＝ (p(0), p(2), p(1))
證明 T是線性變換函數（linear transformation）。（5分）
證明 T是一對一函數（one-to-one）。（5分）
試求 T -1 (1 ,2, 3)？（5分）
試求 T (1－2x)？（5分）
105年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題 代號：60960 全一張
（背面）
考試別： 國家安全情報人員
等別： 三等考試
類科組： 數理組
科目： 線性代數
四、設線性方程組如下：
b
A
x=
其中
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
1
4
,,
12
23
11
2
1＝
－
－
b
x
x
xA
試求最小平方解（least squares solution）。（10 分）
試求在A行空間（column space）的正交投影向量（orthogonal projection）。（5分）
試求最小平方誤差值（least squares error）∥b － Ax∥。（5分）
五、令向量空間ℝ具有如下內積（inner product ）
332211 2, vuvuvu ++=>< vu
其中 u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)為空間ℝ之任意兩向量。
證明 x = (1,1,0), y = (1,0,1), and z = (0,1,1)為ℝ一組基底。（10 分）
使用格拉姆-施密特正交化法（Gram-Schmidt orthogonalization）轉換 x, y, z 為標準
正交基底（orthonormal basis）。（10 分）