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107年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
考 試 別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類科組：數理組
科目：數論
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
須詳列計算過程，否則不予計分。
代號：61220
頁次：1
－
1
一、畢氏三角形為一個直角三角形，其三邊長度都是整數，證明畢氏三角形
內接圓的半徑一定是整數。（15 分）
二、證明若 p是一個奇質數，則雷建得符號（Legendre symbol）
()
⎩
⎨
⎧
≡−
≡
=−= −
)8(mod5,31
)8(mod7,11
1)
2
(8/)1( 2
/p
p
pp
假如
假如 （20 分）
三、
將 gcd(12378,3054)寫成 12378 和3054 的線性組合。（10 分）
求正整數 k,l,m,n 滿足 k2+l2+m2+n2=9828。（15 分）
四、
證明 41 可以整除220‒1。（10 分）
運用 Fermat 的方法因式分解數字 119143。（10 分）
五、證明若 x1, y1是x2 ‒ dy2 = 1 的原始解（fundamental solution），則此方程
式的正整數解xn, yn可以由方程式 n
nn dyxdyx )( 11 +=+ , n = 1, 2, 3…求
得。（20 分）