加載中. ..
PDF
103年公務人員特種考試司法人員、法務部調查
局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、
海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
代號：30930
考 試 別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科 組：數理組
科 目：數論
考試時間：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
全一頁
一、求同餘方程式 17 x 9 (mod 276)的所有整數解。（10 分）
求聯立同餘方程式 7 x + 3 y 10 (mod 16) , 2 x + 5 y 9 (mod 16)的所有整數解。
（10 分）
二、若將所有的質數依由小而大次序排列，設 pn為第 n個質數。試證明下列敘述：
對任一正整數 n，1pppp n211n +≤
+L。（6分）
對任一正整數 n，n
2
1n 2p ≤
+。（14 分）
三、設 ø(n)為尤拉函數（Euler's function）。試證明下列敘述：
對任一正整數 n，≤
2
n ø(n) n≤。（12 分）
若1n >且ø(n)整除 1n −，則 n必然是幾個相異質數的乘積。（8分）
四、設 p為一奇質數。
若整數 a與p互質，試證明 ax y (mod p)恆有一組整數解(x0 , y0)滿足
px0 0<< 且py0 0<< 。（10 分）
使用的結果，試證明若 p 1 (mod 4)，則 p可以寫成兩個平方和。（10 分）
五、12F n
2
n+= ，1n ≥，稱為費瑪數。若 Fn為質數，試證明 3必為 mod Fn的原根（primitive
root modulo Fn）。（10 分）
設p為一奇質數，且 2
1p
21 r,,r,r −
L為從 1到1p −之間所有的 mod p 的二次剩餘（quadratic
residues modulo p）；試證明若 )p(mod1rΠi
2
1p
1i ≡
−
=，則 p 3 (mod 4)。（10 分）