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102年公務人員特種考試外交領事人員及外交行政人員
考試、102年公務人員特種考試法務部調查局調查人員
考試、102年公務人員特種考試國家安全局國家安全情
報人員考試、102年公務人員特種考試民航人員考試、
102年公務人員特種考試經濟部專利商標審查人員考試試題
代號：50930
考 試 別： 國家安全情報人員
等 別： 三等考試
類 科 組： 數理組
科 目： 數論
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
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一、令n、m為正整數。證明 m
n
nm
)!( )!( 為一整數。（20 分）
二、
某正整數n除以 11 餘1、除以 13 餘2、除以 15 餘3，則滿足這些條件的最小正
整數為 29151311
1068
−
×
×
==n。試驗證之。（8分）
試求一最小正整數n，使其除以 9餘8、除以 17 餘14、除以 25 餘20、除以 33
餘26。（12 分）
三、
求所有正整數n，滿足“比n小，且與n互質的正整數共有 7
2n個”的性質。（8分）
求所有正整數n，滿足“比n小，且與n互質的正整數共有 60 個”的性質。（12 分）
四、
欲分別將 998 及999 表成兩正整數的立方差（即呈 33 ba −的形式）。若可以，請
找出所有表法。若不可以，請說明理由。（15 分）
找出一數n，n不等於 998，999，使其表成正整數立方差的方法不只一種。（可
利用
的結果。）（5分）
五、令p為形如 124+
n的質數（n為正整數）。試證 7必為 *
p
F的原根（primitive root），
即7在mod p之下的階數（order）為 1
−
p。（20 分）