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102年公務人員特種考試外交領事人員及外交行政人員
考試、102年公務人員特種考試法務部調查局調查人員
考試、102年公務人員特種考試國家安全局國家安全情
報人員考試、102年公務人員特種考試民航人員考試、
102年公務人員特種考試經濟部專利商標審查人員考試試題
代號：50950
考 試 別： 國家安全情報人員
等 別： 三等考試
類 科 組： 數理組
科 目： 機率統計
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
全一張
（
正面
）
一、某大學生參加限時 2小時的考試，假設該大學生在 x小時內完成考試的機率為 4/
x
，
20 ≤≤
x
。給予該大學生已考了 1.5 小時且仍繼續作答中，試求該大學生會用掉 2
小時的條件機率為何？（10 分）
二、某工廠生產的電器之壽命服從常態分配具有平均數為 10 年與標準差為 2年，若從
工廠隨機抽取出 5個電器（取出放回），試求此 5個電器之壽命皆大於 10 年的機
率為何？（10 分）
三、若隨機變數 n
XXX ,,, 21 L為互相獨立且皆服從指數分配具有下列機率密度函數
θ
θ
/
1
)( x
exf −
=, 0>
x
, 0>
θ
。
令)()2()1( n
XXX <<< L為n
XXX ,,, 21 L所對應的順序統計量（order statistics），
則
試證：若 )1(1 nXY =, ])[1( )1()( −
−
+
−
=
iii XXinY , ni ,,3,2 L=，則 n
YYY ,,, 21 L與
n
XXX ,,, 21 L是具有相同分配；（10 分）
試求： )1()( XX n−之期望值；（10 分）
試求： )()( )1()( XFXF n−之期望值，其中 )(
x
F為此指數分配的累積分配函數。
（10 分）
四、假設隨機變數 n
YYY ,,, 21 L滿足
iii xY
ε
β
+
=
, ,,,2,1 ni L
=
其中 n
xxx ,,, 21 L為固定常數， n
ε
ε
ε
,,, 21 L為互相獨立且皆服從常態分配 ),0( 2
σ
N，變
異數 2
σ
為未知。
試求
β
的最大概似估計量（maximum likelihood estimator），並證明它是
β
的不偏估
計量（unbiased estimator）；（10 分）
試求
β
的最大概似估計量之分配；（10 分）
試求
β
的)%1(100
α
−信賴區間（confidence interval）。（10 分）
102年公務人員特種考試外交領事人員及外交行政人員
考試、102年公務人員特種考試法務部調查局調查人員
考試、102年公務人員特種考試國家安全局國家安全情
報人員考試、102年公務人員特種考試民航人員考試、
102年公務人員特種考試經濟部專利商標審查人員考試試題
代號：50950
考 試 別： 國家安全情報人員
等 別： 三等考試
類 科 組： 數理組
科 目： 機率統計
全一張
（
背面
）
五、假設某大學統計學系 A、B兩班的統計學成績分別呈現獨立常態分配 ),( 2
11
σμ
N與
),( 2
22
σμ
N，其中 2
2
2
121 ,,,
σσμμ
均未知。今從 A、B兩班隨機抽取樣本，獲得資料統
計如下：
A班：抽取 21
1=n人，平均成績 77
1
=
x，變異數 9
2
1=s。
B班：抽取 16
2=n人，平均成績 70
2
=
x，變異數 7
2
2=s。
若假設 02.0=
α
，試檢定 A、B兩班學生之統計學成績之變異數是否相等？（10 分）
（
(
)
0.01 20,15 3.3719F=，
(
)
0.01 15,20 3.0880F=，
(
)
0.01 21,16 3.2367F=，
(
)
0.01 16,21 2.9931F=）
六、某醫療研究人員欲以 95%的信賴水準，估計國人擁有家庭式耳溫槍的真實比例。已
知從過去的研究資料顯示 55%的國人擁有家庭式耳溫槍，若此研究人員希望估計誤
差不超過 3%，試求最少抽樣之樣本數 n為何？（10 分）
（0.2 0.842Z=，0.1 1.282Z=，0.05 1.645Z
=
，0.025 1.96Z
=
，0.0125 2.240Z
=
）