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年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員、
國家安全局國家安全情報人員、移民行政人員考試及
114年特種考試退除役軍人轉任公務人員考試試題
考 試 別
：
國家安全情報人員考試
等 別
：
三等考試
類科組別
：
數理組（選試英文）
科 目
：
線性代數
考試時間
：
2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
35640
頁次：
2
－
1
一、設線性方程組
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2 3 2
3 2 2 3 4
x x x x x
x x x x x
x x x x x
利用此線性方程組的增廣矩陣（augmented matrix），以高斯消去法，求
此方程組的解集合（solution set）。（20 分）
二、設向量空間
n
P
為次數小於或等於
n
的實係數多項式。另設函數
2 2
T:P P
定義為
T(p(x)) (x 1)p (x) p(x 2)
令
2
β
{1, x, x }
和2
γ
{x 1, x 1, x x}
為
2
P
的有序基底（ordered
basis）。求算
β
[T]
及
γ
[
T
]
。此處
β
[
T
]
代表線性變換
T
相對於有序基底
β
的
矩陣表示。（12 分）
求一個矩陣 C使得 1
β γ
[T] C [T] C
。（8分）
三、設
0 1 1
A 1 3 1
1 1 0
，求一正交矩陣（orthogonal matrix）P，使得 1
P AP D
為一對角矩陣（diagonal matrix）。（25 分）
四、設 4
1 2 3 4 1 2 3 4
W {(x ,x ,x ,x ) :x 2x 3x x 0}
R
為
4
R
的子空間。對於
子 空 間 W， 使 用 格 拉 姆 -施 密 特 正 交 化 法 （ Gram-Schmidt
orthogonalization），找一正交基底（orthogonal basis）。（20 分）
代號：
35640
頁次：
2
－
2
五、設 V為一個向量空間，且令
1
v
,2
v V
。
請證明 1 2 1 2 1 2 1 2
span({v 2v , 2v 3v }) span({v v , 2v v })
。（15 分）