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107年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
考 試 別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類科組：數理組
科 目：線性代數
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：61260
頁次：2
－
1
一、A是一個 m×n的矩陣，其秩（rank）為 r，且存在一個 m×1的向量 b
使得 Ax = b 是無解，那麼 m、n及r三個量的大小（含等號）關係為何？
（10 分）
二、假設矩陣 A不等於單位矩陣 I，且是 2×2的實係數矩陣，且 A3 = I。
若λ為A矩陣的一個固有值（eigenvalue），試證 λ3 = 1。（10 分）
試求 A矩陣的跡（trace）與行列式（determinant）。（10 分）
三、考慮平面直線
x
y2=的反射線性函數 T，如圖所示，若 A = (a,b)且T(a,b) = B，
則
BC
AC
=且
A
BO
C
⊥，試求此線性函數 T相對於標準基底
{}
)1,0(),0,1(=
β
的矩陣表示[T ]β。（20 分）
四、假設
V
V
T
→:為線性函數，且 V為有限維度的向量空間，且 T和2
T
的
秩（rank）相等。試證：
{}
0)(N)(R =∩ TT ，其中 0屬向量空間 V的零
元素，R(T)為T的值域，N(T)為T的零空間。（25 分）
x
y2=
y
x
代號：61260
頁次：2
－
2
五、
假設 A是如下的 3×3矩陣：
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
301
030
103
A
試求：A的所有固有值（eigenvalues ）和其相對應的固有向量
（eigenvectors）。（10 分）
利用子題
之特性，考慮如下的方程式：
012333 222 =−−++ xzzyx
試求： 222 zyx ++ 的最大值且 x, y, z滿足上述方程式。（15 分）