加載中. ..
PDF
105年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題 代號：60930 全一頁
考試別： 國家安全情報人員
等別： 三等考試
類科組： 數理組
科目： 數論
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
一、試解同餘方程組：（20 分） )3(mo
d
12 ≡
x
，
)5(mo
d
33 ≡
x
，
)8(mo
d
44 ≡
x
。
二、試證明：沒有正整數 x, y滿足方程式： yx 1725 =+ 。（20 分）
三、試證明：形如 4m+3 的質數有無窮多個。（20 分）
四、試證明：
如果正整數 m使得 12 +
m是質數，必有正整數 n使得 n
m2=。（10 分）
如果正整數 1−
p
a是質數，則 a = 2 且p是質數。（10 分）
五、令 Euler 函數 )(n
ϕ
表示不超過正整數 n且與 n互質的正整數的個數，例如 2)6( =
ϕ
，
4)12( =
ϕ
。試證明：
對於任何具有最大公因數 d = (m, n)的正整數 m和n，我們有 )(
)()()( d
d
nmmn
ϕ
ϕϕϕ
=。
（10 分）
如果正整數 a整除正整數 b，則 )(a
ϕ
整除 )(b
ϕ
。（10 分）