加載中. ..
PDF
104年公務人員特種考試司法人員、法務部調查
局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、
海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
代號：30830 全一頁
考 試 別：國家安全情報人員
等 別：三等考試
類 科 組：數理組
科 目：數論
考試時間：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
一、設3
F為一個 3個元素的有限體。若α為佈於 3
F的多項式 3
x2x1 ++ 的一個根，試證
明α為有限體 ]α[F
3的一個原元素（primitive element）。（10 分）
求下列同餘聯立方程式的解：（10 分）
12x ≡(mod 3)
23x ≡(mod 5)
45x ≡(mod 7)
二、一個合成數（composite number）n滿足對所有整數a，na1 ≤≤ ，aan≡(mod n)都成
立；稱為卡邁克爾數（Carmichael number）。（每小題 10 分，共 20 分）
試證明 561 是一個卡邁克爾數。
設n為一個卡邁克爾數，試證明每一個 n的質因數 p都滿足 1
p
−整除 1n −。
三、設 f為一個算術函數且令
∑
=n|d f(d)F(n) 。（每小題 10 分，共 20 分）
試證明若 f是可乘函數，則 F亦為可乘函數。
反之，試證明上面敘述的逆敘述亦成立。
四、設 p為ㄧ滿足 1
p
≡(mod 4)之質數。若 12pq += 亦為一個質數，試證明 2必為 mod q
的原根（primitive root）。（20 分）
五、在方程式 12yx 22 =− 所有的正整數解(x, y)中，使得 2yx +最小的解稱為此方程
式的基本解。已知方程式 12yx 22 =− 的基本解為(3, 2)。試證明此方程式所有的正
整數解為(kk y,x )，其中 k
kk )22(32yx +=+ ，......3,2,1,k =。（10 分）
試證明每一個整數都可以表示成五個整數的立方和。（10 分）