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09
年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
考試別
：
調查人員
等 別
：
三等考試
類 科
組
：
電子科學組
科 目
：
工程數學
考試時間
：
2
小時
座號
：
※注意：禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：
41360
頁次：
2
－
1
一、有一個週期（period）為2的週期性（periodic）連續時間訊號（continuous-
time signal）x(t)；在−1 ≤ t< 1的區間內，x(t) = t2。將它的傅立葉級數展
開式（Fourier-series expansion）寫成如下所示的型式：
0 0
1
( ) cos sin
k k
k
x t A a k t b k t
（每小題4分，共12分）
0
=？
A=？
b1=？b2=？b3=？（註：答案必須三者全對才有得分）
二、考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）：
微分方程式：
2
2
( ) 2 ( ) 3 ( ) 2
x
d d
y x y x y x e
dx dx
，初始 條 件 （initial
conditions）：
(0) 1, (0) 1
y y
（
( )
y x
為
( )
d
y x
dx
之簡寫）。
求出此微分方程式的齊次解（homogeneous solution）。換句話說，也就
是求解：
2
2
( ) 2 ( ) 3 ( ) 0
d d
y x y x y x
dx dx
。（7分）
求出原微分方程式的一個特定解（particular solution）。（7分）
求出本初始條件問題的精確解（exact solution）。（6分）
三、考慮如下所示過度求定（over-determined）的線性聯立方程組：
3 2 1
2 5
4 2
x y
x y
x y
求出此線性聯立方程組的最小平方誤差解（least-square-error solution）。
（10分）
代號：
41360
頁次：
2
－
2
四、考慮如下所示之矩陣（matrix）：
2 6
4 7
A
求出此矩陣之所有的特徵值（characteristic values，亦稱 eigenvalues）。
（8分）
針對每一個特徵值，求出對應的特徵向量（characteristic vectors，亦稱
eigenvectors）。（10分）
五、考慮兩個連續隨機變數（continuous randomvariables）X與Y，其合併機
率密度函數（joint probability density function）如下所示：
2
(1 ), 0 1, 0 1
( , ) 0,
A x y for x y
f x y otherwise
（每小題5分，共20分）
A=？
若以 fX(x)代表 X的機率密度函數（probability density function），求出
fX(x)=？
若以 E(Y)代表 Y的期望值（expected value），求出 E(Y) =？
若定義一個新的隨機變數 Z=X∙Y，而且用 E(Z)代表 Z的期望值
（expected value），求出 E(Z) =？
六、考慮複變函數 f(z) = z2，其中 z為複數，亦可寫成 z=x+i∙y（x與y為實
數，
1
i
）。
f(z)可以寫成 f(z) = f(x+i∙y) = u(x,y) + i∙v(x,y)；求出 u(x,y)及v(x,y)。
（4分）
證明 u(x,y)及v(x,y)在整個複數平面上都滿足柯西-黎曼方程式
（Cauchy-Riemann equations）。（6分）
在複數平面上，f(z)是否為可解析（analytic）函數？（3分）
令Γ表示在複數平面上的單位圓之中以逆時針方向從1+i∙0走到0+i∙1的
曲線。計算下列積分的結果：
( )
f z dz
。（7分）