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105年公務人員特種考試司法人員、法務部
調查局調查人員、國家安全局國家安全情報
人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題 代號：40860 全一頁
考試別： 調查人員
等別： 三等考試
類科組： 電子科學組
科目： 工程數學
考試時間 ： 2 小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
一、有一飛行中的子彈，在時間 t時，其運動彈道之參數式（parametric equation）為
3t〕sin(2t),2cos(2t),2〔X=，試求：
子彈之速度（velocity）與速率（speed）各為何﹖（10 分）
若子彈從點 A = ( 2, 0 , 0 ) 飛行至點 B = (2, 0, 3π)，則對應之彈道曲線長度為何﹖
（10 分）
二、有一矩陣 A，已知其特徵值（eigenvalue）為 3時，對應之特徵向量（eigenvector）為 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
1，
而特徵值是–2 時，對應之特徵向量為 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
2，試計算 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
4
2
A為何？（20 分）
三、設
(
]
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−∈+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
=−
−
0,1,1
2
sin3
)1,0(,tan
)f( 1
1
x
x
xx
x
又，在(–1, 1)區間內，f(x)之Fourier 級數可用下述
的g函數表示之： ∑
∞
=
++= 1
0)]sin()cos([
2
)g(
n
nn xnbxna
a
x
ππ
，若此 g函數之 Fourier 級數
表示式亦適用於(–1, 1)之區間，則 )3g(g(4)g(3) ++ 之值為何？（20 分）
四、有一偏微分方程式如下：uxx= ut
，其中 0 < x < π，且 t > 0。又其邊界與初始條件各為：
ux(0, t)=0 ，ux(π,t)=0，u(x, 0)=(x–π/2)2。若上述方程式之解可表示為：
∑
∞
=
−
+= 1
0
2
)cos(t)u(x,
n
tn
nenxAA ，試求上述表示式中係數 A6之值為何？（20 分）
五、在某公車站，據車次表顯示公車應在正午時分抵達，然而實際上公車總會遲到 x分
鐘才來，設 X是一個或然率密度函數， x
X
exf
λ
λ
−
=)( 的指數型隨機變數（exponential
random variable），今設小明於準正午時抵達這個公車站。
計算小明等候時間會超過 5分鐘之或然率為何？（10 分）
設小明已等候 10 分鐘，試計算他需再等 5分鐘或更久之或然率為何？（10 分）