加載中. ..
PDF
104年公務人員特種考試司法人員、法務部調查
局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、
海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
代號：21260 全一張
（正面）
考 試 別：調查人員
等 別：三等考試
類 科 組：電子科學組
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
一、考慮圖一之 RLC（電阻－電感－電容）電路，其各電子元件值為：
Ω= 1R，H1.0=L，F2.0=C
假設此電路在時間 0=
t
時承受一脈衝電壓（impulse voltage）輸入，即 )(3)( ttvi
δ
=（Volt）
其中 )(
t
δ
為脈衝函數（impulse function），即 ⎩
⎨
⎧
≠
=∞
=0 ,0
0 ,
)( t
t
t
δ
且 ∫∞
∞− =1)( dtt
δ
試以電容電壓為 )(tvc為變數，寫出此電路之微分方程式。（10 分）
假設初始電容電壓為 0)0( =
c
v（Volt），初始電流為 0)0( =i（Amp），試以拉式
轉換（Laplace transform）求 )(tvc與)(
t
i。（15 分）
二、考慮圖二之電路，其中電壓與電流之關係可以矩陣表示為：
A
iv =，其中 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
v
v
v，⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
i
i
i，⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
323
331 RRR
RRR
A
假設各電子元件值為 Ω= 1
1
R，Ω= 4
2
R，Ω= 2
3
R
若)V(3
1=v，)V(2
2=v，試求 1
i與2
i。（5分）
試求矩陣
A
之特徵值與特徵向量。（10 分）
假設輸入電壓大小限制為 1
2
2
2
1=+ vv 。試求 1
v與2
v，使得三個電阻所消耗之總功率
為最小。提示：先將功率表示為 1
i與2
i的二次型（quadratic form），再表示為 1
v與
2
v的二次型。（10 分）
圖二
2
v
1
R2
R
1
v3
R
1
i2
i+
−
+
−
圖一
c
v
i
R
L
C
+
−
−
+
-
+
i
v
∫
104年公務人員特種考試司法人員、法務部調查
局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、
海岸巡防人員及移民行政人員考試試題
代號：21260 全一張
（背面）
考 試 別：調查人員
等 別：三等考試
類 科 組：電子科學組
科 目：工程數學
三、考慮下列偏微分方程式
() () ()
xtxu
x
txu
ttxu
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂,
2
,, 2
2
，20 <<
x
，0≥
t
其邊界條件與初始條件為
()
0,0 =tu ，
()
0,2 =tu ，
()
x
xexu −
=0, 。
證明其特徵函數（eigenfunctions）為
()
L,2,1,
2
sin == −nx
n
exX x
n
π
。（15 分）
代入初始條件後可得 ∑
∞
=
=12
sin
nnx
n
cx
π
，求係數 n
c。（10 分）
四、考慮一磁力場
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
=22
22
122
2
4
3
),( yxyx
yxyx
yxF
如圖三所示，有一長軸為 4、短軸為 2之橢圓路徑。若有一質點沿此橢圓路徑移
動，從 )0,2( 移動至 )0,2(−，求此磁力場對質點運動所作之功，即求
∫⋅= CdrFW
其中 C為半橢圓路徑，
()
yxr ,=為質點位置。（15 分）
如圖四所示，今此質點再由 )0,2(−沿直線移動至 )1,0( −，再沿直線移動至 )0,2( ，
形成一類似扇形的封閉路徑。求此磁力場對質點沿此封閉路徑運動所作之功。
（10 分）
X
Y
2
-2
1
-1
圖四
X
Y
2
-2
1
-1
圖三
∫