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年公務人員特種考試外交領事人員外交行政人員考試、
101
年
公務人員特種考試國際經濟商務人員考試、
101
年公務人員特種考
試法務部調查局調查人員考試、
101
年公務人員特種考試國家安全
局國家安全情報人員考試、
101
年公務人員特種考試民航人員考
試、
101
年公務人員特種考試經濟部專利商標審查人員考試試題
代號：
考 試 別： 調查人員
等 別： 三等考試
類 科 組： 電子科學組
科 目： 工程數學
考試時間： 2小時 座號：
※注意：
禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
（請接背面）
全一張
（
正面
）
40960
一、考慮一電路，其動態方程式可表為以下之 4階常微分方程
s
vv
d
t
vd =+
4
4
假設初始值為 )(1)0(
V
v=,0)0(,0)0(,0)0(
=
=
=
vvv &&&&&& 。
請求 )(
t
v之齊次解（homogeneous solution）。（10 分）
若，請以未定係數法（method of undetermined coefficients）求
tetv t
scos)( −
=)(
t
v
之特解（particular solution）與完整解（complete solution）。（10 分）
二、考慮圖一之電路，其動態方程式可表為以下之常微分方程
0
)(
12222
2211211121
=−+
=
−
+
+
CCC
sCCC vvvCR
vRvRvRRvCRR
&
&
其中之微分為對時間 t之微分。上式也可表為矩陣型式，即
s
C
C
C
Cv
CR
v
v
A
v
v
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
1
11
2
1
2
1
&
&
，其中
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
=
2222
12121
21
11
1)(
CRCR
CRCRR RR
A
假設各電子元件值為
Ω1
1
=
R, Ω4
2
=
R, FC 4
1
1=, FC 12
1
2=
請求矩陣
A
之特徵值與特徵向量，並說明此問題中特徵值之物理意義。（10 分）
假設初始電容電壓為 )(0)0(),(1)0( 21 VvVv CC
=
=
，且輸入電源為 ttvs2sin3)(
=
，請
以拉氏轉換（Laplace transform）求 。（15 分）
)(
2tvC
圖一
1C
v2
C
1
C++
--2C
v
1
R
2
R
+
-
s
v
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年公務人員特種考試外交領事人員外交行政人員考試、
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年
公務人員特種考試國際經濟商務人員考試、
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年公務人員特種考
試法務部調查局調查人員考試、
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年公務人員特種考試國家安全
局國家安全情報人員考試、
101
年公務人員特種考試民航人員考
試、
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年公務人員特種考試經濟部專利商標審查人員考試試題
代號：
考 試 別： 調查人員
等 別： 三等考試
類 科 組： 電子科學組
科 目： 工程數學
全一張
（
背面
）
40960
三、考慮一電路板，一端與外在環境接觸，因此溫度是固定的，
(
)
0,0
=
tT ；另一端有熱
源，因此溫度梯度（temperature gradient）為固定的，
()
1
1
=
∂=x
x
,∂txT
()
tx,
，如圖二所示。
其溫度在 Y方向是均勻的，而沿著 X方向的溫度分佈T滿足偏微分方程式
(
)
(
)
2
2,
2
,
x
txT
ttxT
∂
∂
=
∂
∂
另外，其初始溫度分佈為
(
)
10,10,
≤
≤
=
xxT 。
請求其穩態時（時間很大時，即
∞
→
t
）之溫度分佈。（10 分）
請求其完整之溫度分佈。提示：先做座標轉換，移除穩態解，使邊界條件為齊次。
（20 分）
請指出此問題之特徵函數。（5分）
四、欲求訊號之頻譜（spectrum），必須對其進行富立葉轉換（Fourier transform）。考
慮以下兩個訊號，請分別求其頻譜。
。（10 分）
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
0,0
0,
)(
1t
te
tf t
。（10 分）
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
0,0
0,cos
)(
2t
tte
tf t
0
=
x
1=
x
0
′
T
T
=
1
=
X
圖二