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106年公務人員高等考試三級考試試題
代號：21550
全四頁
第一頁
類科：統計
科 目：迴歸分析
考試時間：2小時 座號：
※注意：
可以使用電子計算器，須詳列解答過程。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
參考之查表值：F分佈 α=0.05，臨界值 F
0.05
(df1,df2)，t
0.05
(28)=1.701，t
0.025
(28)=2.048。
df1
df2
1 2
28 4.196 3.340
29 4.183 3.328
50 4.034 3.183
52 4.027 3.175
一、請回答下列問題：
圖1是探討美國在游泳池溺斃（Swimming-pool drownings）的人數和美國核能發電
廠發電（Nuclear power plants）數量數之間的關係，這兩個變數的相關係數為 90.12%。
請試述以簡單線性迴歸分析是否具有因果關係或意義？請說明理由。（5分）
2005 2006 20082004 2007
2000 2001 2002 2003
1999
1999
700 deaths
600 deaths
500 deaths
s 400 death
Swimming-pool drownings
2009
850 BkWh
800 BkWh
750 BkWh
N
uclear power plants
700 BkWh
2006 2007 2009
2005 2008
2001 2003
2000 2002 2004
N
uclear power plants Swimming-pool drownings
圖1
一位數據分析師擬研究滷肉飯銷售量受到那些因素所影響。所蒐集的可能解釋變
數有價格、店內坪數、客流量、附近店家數、店內位置數、營業時間、店齡、配
菜種類、選取肉的部位、米的種類等十個可能的解釋變數。該分析師計畫作複迴
歸分析，要選擇重要解釋變數來描述反應變數（滷肉飯銷售量），請試述四種選擇
重要變數的方法。又大數據的時代來臨，我們應用迴歸分析，有時會遇到高維度
解釋變數的情況，解釋變數的個數（p）大到超過於樣本數（n）的情況，在高維
度的解釋變數情況，請試述上述四種選擇重要變數之方法是否仍適用？如果你的
答案為不適用，請說明理由。（10 分）
（請接第二頁）
106年公務人員高等考試三級考試試題 代號：21550 全四頁
第二頁
類科：統計
科 目
：迴歸分析
二、一位分析師隨機抽取 55 位大學生並蒐集到五個變數。該分析師希望研究身高（Y，英
吋）與受測者左前臂長度（X1，公分）、左腳長度（X2，公分）、頭圍（X3，公分）
和鼻長（X4，公分）之間的關係。該分析師考慮配適下列三個迴歸模型：
模型 1：Yiiiiii XXXX
β
β
β
β
β
ε
+++++= 443322110
模型 2：Yiiii XX
ε
β
β
β
+++= 22110
模型 3：Yiii X
ε
β
β
++= 110
請使用表 1和表 2中部分 R統計軟體輸出之變異數分析表（ANOVA，Analysis of
Variance）報表來回答以下問題：（每小題 10 分，共 30 分）
表1 模型 1 ANOVA 表
Response：Y DF Sum of Mean F value
squares square
X1 1 590.21 590.21 123.8106
X2|X1 1 224.35 224.35 47.0621
X3|X1, X2 1 1.4 1.4 0.294
X4|X1, X2, X3 1 0.43 0.43 0.0896
Error 50 238.35 4.77
表2 模型 2 ANOVA 表
Response：Y DF Sum of Mean F value
squares square
X1 1 590.21 590.21 127.782
X2| X1 1 224.35 224.35 48.572
Error 52 240.18 4.62
假設該分析師採用模型 1。在顯著水準 α=0.05 之下，請檢定 X3和X4兩個解釋變數是否
可以從給定模型 1中刪除。也就是用 α=0.05 檢定 0
430 ==
Η
β
β
：
2
R3X,XY,
，並試述對立假設，檢
定統計量之值、決策法則和結論。並請計算偏相關係數 （partial R2）。
|214 X,X
假設該分析師採用模型 2。也就是在模型中僅考慮了兩個解釋變數，這兩個解釋變
數是學生的左前臂長度（X1）和左腳長度（X2）。該分析師想知道這兩個解釋變數
是否與身高（Y）有線性關係。在顯著水準 α=0.05 之下，請檢定 0
210 ==
Η
β
β
：。
並請試述檢定統計量之值、決策法則和結論。另請計算模型 2的調整的複判定係
數R2
（adj R2，the adjusted R-squared）並試述其意義。又該分析師要把身高的單位
英吋轉公分（英吋乘以 2.54），試述模型 2的adj R2是否改變？
假設該分析師採用模型 3。只考慮模型中具有一個解釋變數，為學生的左前臂長度
（X1）。在顯著水準 α=0.05 下，該分析師想知道一個額外的解釋變數 X2是否在解
釋身高上具有顯著的貢獻。也就是說，該分析師想知道 X2對模型 3的貢獻。請協
助回答此問題並說明對立假設、檢定統計量之值、決策法則和結論。在表 1和表 2
的F檢定中，請試述需要做何假設，才能執行這些 F檢定。
（請接第三頁）
106年公務人員高等考試三級考試試題
代號：21550
全四頁
第三頁
類科：統計
科 目：迴歸分析
（請接第四頁）
三、 在作迴歸分析時，經常會遇到離群值和有影響力觀察值（influential data point）的
問題。請試述何謂離群值和有影響力觀察值。並請分別試述兩種判斷準則偵測迴
51
圖2A 圖2B
圖3A 是另一 估計式
包括第 41 點觀察值 ，虛線估計式
不包括第
值？並請試述這組數據集是否包含任何有 4分）
圖3A 圖3B
歸分析中的離群值和有影響力觀察值。（12 分）
圖2A 是一組數據的散佈圖，圖 2B 提供兩條估計線，實線估計式 XY 97.48.2
ˆ+= 包
括第 51 點觀察值
))50,4(),(( =YX
，虛線估計式
ii
i
X98.
不包括第
5151
i
點觀察值。請試述這組數據集是否包含任何離群值？並請試述這組數據是否包含
任何有影響力觀察值？另請說明理由。（4分）
Y468.3
ˆ+=
組數據的散佈圖，圖 3B 提供兩條估計線，實線
影響力觀察值？另請說明理由。（
ii
4141
41
XY 08.495.6
ˆ+=
ii XY 21.593.1
ˆ+=
))16,10(),(( =YX
點觀察值。請試述這組數據集是否包含任何離群
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第四頁
類科：統計
科
目：迴歸分析
四、一位數據分析師受冰飲企業老闆的委託，欲知道每日最高溫和該公司冰品銷售是否
有線性關係，以作為未來商品促銷的依據。他蒐集了每日最高溫（X，以攝氏為單位）
和冰品銷售（Y），共 30 個樣本點。下列是這些數據的統計量：
30=n，9892.28=
X
，7065.34=Y，2128.360))((
1
=−−= ∑
=
n
iii YYXXSXY
∑
=
=−= n
iiXXSXX
1
20186.556)( ，∑
=
=−= n
iiYYSYY
1
20085.353)(
在配適 )()|( 1XxxXYE −+==
β
α
的簡單線性迴歸方程式下，請利用最小平方法計算
參數估計值（
α
ˆ和）與分別之標準誤。並請試述
1
ˆ
β
α
ˆ和的共變異數，也就是 Cov(
1
ˆ
β
α
ˆ,
)。（15 分）
1
ˆ
β
請在試卷上，完成下列變異數分析表。在顯著水準 α=0.05，請協助檢定 0
10 =
Η
β
：。
並請試述檢定統計量之值、決策法則、結論和所需要之假設。（10 分）
Source Sum of
Squares DF Mean square F value
Regression （1） （4）
Error （2） （5） （6）
Total （3）
五、一位分析師擬以 ∑
=−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=n
iii
ii XX YY
n21
1
11
1
~
β
估計簡單線性迴歸模型 iii XY
ε
β
β
++= 10 ， 之
斜率
ni ,...,1=
1
β
。他可以證明 1
~
β
是一個不偏估計式。請寫出 1
β
的最小平方估計式 。在無須推導
1
ˆ
β
1
~
β
的變異
數下，試述相較於最小平方估計式 ，
1
ˆ
β
1
~
β
ˆ
β
和 何者為最佳之估計式？請詳細敘述所依據
的理由或定理。（10 分）
1