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108年公務人員高等考試三級考試試題
類科： 統計
科目： 迴歸分析
考試時間： 2小時 座號：
※注意：可以使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：21650
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1
註：所有計算至小數點第 2位。
一、
考慮下列涉及 3條可能不同截距但相同斜率之直線的簡單線性迴歸
模式： = ++
，
= ++
+，
，
=1+
，
=1,⋯,
其中,⋯,,,⋯,,,⋯,為彼此獨立且期望值為0而變異數
皆為的隨機誤差。請利用上述所有資料求出,,的最小平
方估計量 （least squares estimator ）,,及的變異數
。（10 分）
某國政府統計分析師利用迴歸方法分析該國經濟狀況的評估分數
以及影響該國 濟狀況 所用之模式為 經
其中隨機誤差有下列之機率密度函數表達：
之重要指數 X，其
= ++，
=
1+，−∞<<∞
當值大於0時，則該國的經濟評估為正向發展；反之即為負向發
展。考慮另一變數 Q，當Y，則 Q=1，反之當Y≤0，則 Q
=0，
即Q該國經濟是否為正 展的指標。試求出一函數 h使得
>0
向發
h=β0+β1X，
為
其中 = E(Q)為Q的期望值。（10 分）
代號：21650
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二、下列是 於模式選取及模式診斷的問題。 關
下表為給定 4種不同迴歸模式來配適 13 組資料 ，
i=1,⋯,13，所得的 AIC（Akaike’s information criterion，赤池訊息
標準）值。
),,,( 321 iiii xxxy
模式 模式中的解
釋變數 AIC BIC
A
， 25.41 (1)
B
， 65.11 (2)
C ， 51.03 52.72
D，2 .03 ，5 (3)
其中為解釋變數的資料值，=1,2,3，隨機誤差,⋯,為彼
此獨立，期望值為0，變異數皆為的常態分配。請完成此表並利
用AIC 及BIC（Bayesian information criterion，貝氏訊息標準）來
選取最適合的模式。（log(a)為數字 a的自然對數值，log(2)=0.69，
log(3)=1.1，log(4)=1.39，log(9)=2.2，log(10)=2.3，log(13)=2.56）。
（10 分）
列複迴
= ++，= ⋯,100，
考慮下 歸模式
++ 1,
其中隨機誤差,⋯,為彼此獨立，期望值為0，而變異數皆為
的 態分配。下列的殘差圖（ e出那些（個）
不適當並請解釋為何不適當:
常r sidual plot），請選
⑴(y 軸)對x軸)的圖，即 ,(,，=1⋯,100;
⑵(y 軸)對(x 軸)的圖，即 ，=1 ;
, ,⋯,100
⑶(y 軸)對x軸)的圖，即 ,
(,，=1⋯,100;
⑷(y 軸)對圖, =1 ;
， ,⋯,100
(y 軸)對(x ,，=1,⋯,100;
(x 軸)的 ，即
⑸軸)的圖，即
其中資料,,,是代表第天收集的資料，
yi為第 i個資料之配適值（fitted value），而ei為第個資料之殘差
（residual）值。(5 分)
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三、某跨國企業 A司 複 歸 式 公 其資料科學家利用下列 迴 模
=+++，=1,⋯,10，
來分析該公司一產品的銷售額變化量和該公司此產品價格變化量與
競爭對手 B公司其相對競爭產品價格變化量的關係，其中為A公
司在第個地區的銷售額變化量，為A公司的產品在第個地區的價
格變化量，為B公司的競爭產品在第個地區的價格變化量，而隨
機誤差,⋯,為彼此獨立，期望值為0，且變異數皆為的常態分
配。給定銷售額變化量,⋯,及下列解釋變數矩陣 X與反應變數
向量 Y的相關資訊：
=10 0 0
0200
0020
，=28
-20
12 ，y=∑yi
10
i=1
10 =2.8，yi
2
10
i=1
=130，
其中
=1
1
⋮1⋮
⋮
，=
⋮
，
以及為 矩陣。 矩陣的轉置
計算判定係數（coefficient of determination）及，其中是
觀察值,,⋯,與配適值（fitted values）,,⋯,的相關
係數（coefficient of correlation）。（8分）
=0.05 利用 F檢定法檢定
:==0及:≠0或≠0。
在顯著水準α，
且完成下列關於此檢定的變異數分析表（ANOVA table）。（11 分）
來源
(source)
自由度
(degree of
freedom)
平方和
(sum of
squares)
均方和
(mean
square)
F統計量
迴歸 (1) (4) (7) (9)
誤差 (2) (5) (8)
總和 (3) ( ) 6
在顯著水
0F準α=.05，利用 檢定法檢定
:+2=0及:+2≠0。（8分）
假定因中美貿易戰的影響，若兩公司同在第 11 個地區競爭且其價
格各自調高 1，即x11=1及z11=1。請計算在此地區 A公司平均銷售
額變化量 E(y11)=++的預測值及其 95%預測信賴
區間，即 E(y11)的點估計及區間估計。（8分）
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四、下列是關於配適模式不正確時造成的影響以及模式適合度問題。
某統計學家欲調查某一地區的當年新生人口與當年經濟成長率的
關係是線性或是牽涉到更高的次方關係。此統計學家蒐集了下列
在不同經濟成長率（單位為%）的新生人口資料
（單位為萬人）， …,7，i=1,
3
=30
y1=20 =22
2 =26 4 =37
5 =39
6 =42
7
1=−5 2=−3 3−1=4=0 5=1 6=3 7=5
並利用下 適列兩種 歸模 來配 資料
=++
模式 =++++
迴 式
模式 ：A
B：
其中,⋯,為彼此獨立 異 皆為的隨機誤差。
但是真正的 歸模 是且期望值為0，變 數
式
=++。
迴+
如果及為使用模式 A所得之及的最小平方估計量（least
squares estimator），而，及為使用模式 B所得之,及
的最小平方估計量，請得到這些估計量的期望值向量，即
及
。（7分）
針對模式 A，請問是否可利用此統計學家所蒐集的資料作模式缺適
檢定（lack of fit test）？如果可，請算出檢定統計量的值；如果不
可，請解釋原因。（3分）
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五、某工業研究所欲研 某 所 之 能 與某化合物含量X間
的關係。利用簡單 性
究 反應過程 散發 熱
線 迴歸模式
=++，=1,⋯，
,5
其中為第次反應過程所散發熱量之測量值，為第次反應過程此
化合物含量，且隨機誤差,⋯,為彼此獨立，期望值為0，變異數
皆為的常態分配。根據 5應過程所得之資料可得估計迴歸關
係式為 次反
=0.2+2.6x
且判定係數（coefficient of determination）為0.845。
計算調整判定係數（adjusted coefficient of determination）及,⋯,
與,⋯, 數o f n correlation）。（5分） 的相
在顯著水準= 定
關係 （c ef icie t of
0.05，利用 F檢定法檢
:=0及:≠0。（5分）
算 的 95%信賴區間估計。（5分） 計
為的最小平 計 l q estimator），且給定的標
準誤為 2.13。在 ，利用 t 檢定法檢定
方估 量（ east s uares
顯著水準=0.05
:≥4及:<4。（5分）
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